Matematické Fórum

Sergej · 29. 11. 2007 12:17

$u\in R^+$
$u^{sqrt{u}}=(sqrt{u})^u$
postupnou úpravou dostanu
$sqrt{u}logu={u}logu^{\frac12}$
$sqrt{u}logu={\frac u2}logu /*2$
$2sqrt{u}logu=ulogu /*u^{-1}$
$2sqrt{u}u^{-1}logu=logu /* \frac 1{logu}$
$2sqrt{u}u^{-1}=1$
$2u^{\frac12}u^{-1}=1$
$2u^{-{\frac12}}=1$
$u^{-{\frac12}}=\frac12$
$\frac1sqrt{u}=\frac12$
$sqrt{u}=2$
$u=4$

Nejsem si jist zda-li všechny provedené úpravy jsou dovolené a zda-li jsem postupoval správně, ale $4$ je skutečně řešením. Rovnice $u^{sqrt{u}}=(sqrt{u})^u$ má ale ještě další řešení a tím je $1$ . A tak by mě zajímalo zda-li se k němu dá dopracovat jinak než logickou úvahou?

jelena · 30. 11. 2007 07:41

V jednom kroku delis log(u), coz je mozne pouze za prepokladu, ze neni nula ( a to neni jiste) a tak se odmazal jeden koren. Preved vse na levou stranu (do anulovaneho tvaru) a vytkni log(u) - rovnice v soucinovem tvaru.
Hodne zdaru :-)

Sergej · 30. 11. 2007 12:03

Díky moc za nápovědu, tápal jsem teď nad tím asi dvě hodiny, ale nakonec jsem to uviděl:-)

$2sqrt{u}logu=ulogu$
$2sqrt{u}logu-ulogu=0$
$logu(2sqrt{u}-u)=0$
$logu=0$
$u_1=10^0=1$
$2sqrt{u}-u=0$
$4u-u^2=0$
$u(4-u)=0$
$u_{2a}=0$
$u_{2b}=4$

Nula nesplňuje podmínku, takže řešení je 1 a 4.

Ještě jednou díky Jeleno.

Matematické Fórum

#1 29. 11. 2007 12:17

A znova problém s logaritmováním rovnice

#2 30. 11. 2007 07:41

Re: A znova problém s logaritmováním rovnice

#3 30. 11. 2007 12:03

Re: A znova problém s logaritmováním rovnice

Zápatí