Matematické Fórum

drabi · 29. 10. 2012 20:24

Ahoj, mám problém s úlohou. Mohl by mě prosím někdo trochu navést? Na cvičení jsme to opět nestihli a tak na to musím přijít nějak sama.
úloha zní:
Nechť $X$ je množina a označme $P(X)$ množinu všech podmnožin $X$ .

V závislosti na $|X|$ rozhodněte, zda je $P(X),\Delta,id,\cap,\emptyset$ komutativní okruh s jednotkou.

Zde $A\Delta B = (A\setminus B) \cup (B \setminus A)$ a $id(A)=A$ .

mám tedy ověřit tyto vlastnosti:
$(R,+,-,\cdot,0,1)$ je okruh, pokud splňuje:
(i) $\forall a,b,c \in R: a + (b+c) = (a + b)+c ; a+b=b+a; a+(-a)=0, a+0=a$
(ii) $a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c; a\cdot b = b\cdot a; a\cdot 1=a$
(iii) $a(b+c) = a\cdot b + a \cdot c$
(iv) $0 \not = 1$

zřejmě $1 = X, O = \emptyset$
pokud
1) $|X| = 1 \Rightarrow X= \emptyset$ nesplňuje bod (iv)
2) $|X| = 2 \Rightarrow P(X) = \{\emptyset, X\}$
3) obecně se musí vyřešit tedy problém, zda platí
$A,B,C \in P(X)$ , platí $A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C$
nějak mi to nejde dokázat ani vyvrátit, pomohl by mi s tím někdo prosím?
zřejmě $A \Delta B = B \Delta A$
ale pak je tady to $(a + -(a))=0$ , to by mělo být, že $A \Delta id(A) = 0$ (??)
s bodem(ii) by neměl být problém
s bodem (iii) si moc nevím rady
a bod (iv) platí

Díky za jakékoliv návody a rady

kompik · 29. 10. 2012 21:34 — Editoval kompik (29. 10. 2012 21:44)

drabi napsal(a):
3) obecně se musí vyřešit tedy problém, zda platí
$A,B,C \in P(X)$ , platí $A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C$
nějak mi to nejde dokázat ani vyvrátit, pomohl by mi s tím někdo prosím?

Toto je casta uloha, dam par liniek:

http://www.proofwiki.org/wiki/Symmetric … ssociative
http://math.stackexchange.com/questions … 2847#52847
http://math.stackexchange.com/questions … triangle-c

Vennove diagramy su nakreslene tu (priklad 2.4.12): http://msleziak.com/vyuka/2012/temno/temno.pdf

A k ulohe ako celku sa mozno hodi aj:
http://www.proofwiki.org/wiki/Symmetric … forms_Ring