Matematické Fórum

VDanny · 29. 10. 2012 10:34

Zdravim, mám 3 příklady na limity, se kterýma si nevim rady. Navíc bych výsledek potřeboval ještě dokázat nějakým důkazem. Mohl by mi prosím někdo poradit?

1. $\lim_{n\to\infty }\frac{\sum_{k=1}^{n}k^{3}}{n^{4}}$

2. $\lim_{n\to\infty }\sqrt{n}(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n})$

3. $\lim_{n\to\infty }\frac{\sqrt[4]{n^{5}+2}-\sqrt[3]{n^{2}+1}}{\sqrt[5]{n^{4}+2}-\sqrt[2]{n^{3}+1}}$

Rumburak · 29. 10. 2012 10:53

Ahoj.

Ad 1. Sečti tu sumu - bude to polynom 4.stupně v proměnné n, neznámé koeficienty dopočítáš tak,
že postupnými volbami n = 0, 1, 2, 3, 4 dostaneš pro ně soustavu rovnic (odpovídající sumy spočteš
numericky) .

Ad 2. Ber ten výraz jako zlomek se jmenovatelem 1 a rozšiř ho výraezem $\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}$ ,
v čitateli tím zmizí nepříjemný rozdíl odmocnin.

Ad 3. Který z výrazů $\sqrt[q]{n^{p}+a}$ poroste nejrychlejí ? Tím zlomek "vykrať" .

VDanny · 29. 10. 2012 11:11

↑ Rumburak:

Ahoj, děkuju moc :)... jen ještě k tomu 3. příkladu.. podle toho který výraz poroste rychleji, tak tím mám vykrátit jakoby všechny členy a pak nějak upravit?

Rumburak · 29. 10. 2012 12:03

↑ VDanny:
Hlavní princip bude stejný, jako u limit z funkcí typu "polynom / polynom" , kde vykrátíme nejvyšší mocninou
a dostaneme v čit. resp. jm. výrazy jdoucí k 0 nebo k jinému konečnému číslu.

VDanny · 29. 10. 2012 21:41

Vím jak vypočítat první 2, ale se třetím mám pořád problém. Když si najdu který z těch výrazů roste rychleji, což je ve jmenovateli ten druhej, tak jak s nim pak vykrátim celej zlomek?

jelena · 30. 10. 2012 00:17

↑ VDanny:

Zdravím,

ve 3. zadání mohu přepsat odmocniny na mocniny ve tvaru zlomku a to - jsou jen exponenty: 5/4, 2/3, 4/5, 3/2. Třeba seřadit zlomky od největšího do nejmenšího. Viz Rychlokurz

A nedávej, prosím, do jednoho tématu více úloh. Děkuji.

Rumburak · 30. 10. 2012 09:25

↑ VDanny:
Ano. Pak už se problém redukuje na výpočet limit z podílů $\frac{\sqrt[q']{n^{p'}+a'}}{\sqrt[q]{n^{p}+a}}$ .
Jaká by tam mohla být další past, mne nenapadá.

lpfm · 31. 10. 2012 20:08 — Editoval lpfm (31. 10. 2012 21:12)

Zdravím, mohl by někdo vypočítat 3. příklad i s polopatickým postupem, měli jsme podobný a taky mi dělal problém. Předem díky.

jelena · 31. 10. 2012 20:51

↑ lpfm:

Zdravím,

vy jste dívčí škola? Z každé odmocniny vytkni $n^{\frac{3}{2}}$ , potom už by to mělo být vidět.

Rumburak · 01. 11. 2012 09:26

↑ lpfm:
Ještě bych doplnil ke "svému alternativnímu" postupu (viz ↑ Rumburak: , ↑ Rumburak:) :

(1) $\frac{\sqrt[q']{n^{p'}+a'}}{\sqrt[q]{n^{p}+a}} = \frac{n^{\frac{p'}{q'}}\sqrt[q']{1+\frac{a'}{n^{p'}}}}{n^{\frac{p}{q}}\sqrt[q]{1+\frac{a}{n^{p}}}} =n^{\frac{p'}{q'}-\frac{p}{q}}\cdot \frac{\sqrt[q']{1+\frac{a'}{n^{p'}}}}{\sqrt[q]{1+\frac{a}{n^{p}}}}$ .

Limita výsledného podílu odmocnin je zde 1, takže limita výrazu (1) je stejná jako

$\lim_{n \to \infty} n^{\frac{p'}{q'}-\frac{p}{q}}$ .

Postup navržený kolegyní Jelenou je patrně rychlejší.

Matematické Fórum

#1 29. 10. 2012 10:34

Limity posloupností + důkazy

#2 29. 10. 2012 10:53

Re: Limity posloupností + důkazy

#3 29. 10. 2012 11:11

Re: Limity posloupností + důkazy

#4 29. 10. 2012 12:03

Re: Limity posloupností + důkazy

#5 29. 10. 2012 21:41

Re: Limity posloupností + důkazy

#6 30. 10. 2012 00:17

Re: Limity posloupností + důkazy

#7 30. 10. 2012 09:25

Re: Limity posloupností + důkazy

#8 31. 10. 2012 20:08 — Editoval lpfm (31. 10. 2012 21:12)

Re: Limity posloupností + důkazy

#9 31. 10. 2012 20:51

Re: Limity posloupností + důkazy

#10 01. 11. 2012 09:26

Re: Limity posloupností + důkazy

Zápatí