Matematické Fórum

Kattty · 01. 11. 2012 17:09

Dobrý den,
prosím o pomoc s dopočítáním příkladu, jehož zadání zní:

Pravidelný n-boký jehlan má podstavu velikosti a, odychlku boční hrany od roviny podstavy $\beta$ . Určete jeho objem V.

Učitel začal počítat na tabuli a chybí nám poslední krok.
Jeho postup: $V=1/3 S_{p}*v$
Potřebujeme znát $S_{p}$ a výšku tohoto jehlanu.
Abychom spočítali obsah podstavy, nakreslil jeden trojúhelník z podstavy, jehož ramena jsou rovna poloměru kružnice opsané n-úhelníku = r, třetí strana(základna) = a, úhel, který svírají strany r a r je $\alpha = 360^\circ /n$ . My však potřebujeme znát výšku tohoto trojúhelníku, kterou nazval $\varrho$ . Výpočtem jsme zjistili, že $\varrho = a/ 2tg(\alpha /2)$

Můžeme tedy vypočítat Obsah podstavy. Výsledek: $\frac{n*a^{2}}{4\frac{180^\circ }{n}}$

Teď už zbývá dopočítat výšku jehlanu a tu máme spočítat z trojúhelníku, jehož jedna strana = r, druhá strana je hledané v a úhel $\beta$ svírá strana r s přeponou tohoto trojúhelníku.

Celkový výsledek má vyjít: $v=\frac{n}{24}*a^{3}*tg\alpha *cos\frac{\Pi }{n}$

My jsme zvolili postup takový: $tg\beta =\frac{v}{r}$ z toho vyplývá $v=tg\beta *r$ . Stranu r jsme chtěly spočítat z prvního trojúhelníku, ale ať děláme co děláme pořád nám to nevychází.

Můžete nám, prosím, poradit?

Děkuji Vám,
Kateřina

zdenek1 · 01. 11. 2012 18:18

↑ Kattty:
Ten výsledek, který úvádíš, nebude správně.

v trojúhelníku na obr. je $\frac{\frac{a}{2}}{r}=\sin \frac{\alpha }{2}\ \Rightarrow\ r=\frac{a}{2\sin\frac\alpha2}$ , kde teda $\frac\alpha2=\frac\pi n$
Pro výpočet obsahu trojúhelníka nepotřebuješ určovat jeho výšku, lepší je použít
$S_\triangle =\frac12 r^2\sin\alpha=\frac12\frac{a^2}{4\sin^2\frac\alpha2}\sin \alpha$
takže
$S_p=nS_\triangle=n\frac12\frac{a^2}{4\sin^2\frac\alpha2}\sin \alpha =\frac{na^2\sin\alpha}{8\sin^2\frac\alpha2}$

výšku jehlanu $v=r\tan\beta$ máš správně
TAkže
$V=\frac13\cdot \frac{na^2\sin\alpha}{8\sin^2\frac\alpha2}\cdot \frac{a}{2\sin\frac\alpha2}\tan\beta=\frac{na^3\sin\alpha\tan\beta}{48\sin^3\frac\alpha2}$
Výraz se dá ještě upravit využitím vztahu
$\sin\alpha=2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2$
a dostaneš
$V=\frac{na^3\sin\alpha\tan\beta}{48\sin^3\frac\alpha2}=\frac{na^3\tan\beta}{24\tan\frac\alpha2\sin \frac{\alpha }{2}}=\frac{na^3\tan\beta}{24\tan\frac\pi n\sin \frac{\pi }{n}}$

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2012 17:09

Objem pravidelného n-bokého jehlanu (obecně), stereometrie

#2 01. 11. 2012 18:18

Re: Objem pravidelného n-bokého jehlanu (obecně), stereometrie

Zápatí