Matematické Fórum

emer · 07. 10. 2012 23:36 — Editoval emer (07. 10. 2012 23:53)

Zdravim,

mam nasledujuci priklad
$\lim_{x\to0}cos x^{cotg x}$

ja by som to riesil ako $\lim_{x\to0}cos x^{\frac{cos x}{sin x}}$

lenze dostaneme z toho neurcity vyraz $1^{\infty}$

takze potrebujeme ine riesenie, ktoremu vobec nerozumiem.
kamarat mi pisal nieco taketo

no vysvetlit mi to uz nejak nestihol a vobec nerozumiem, co sa tam deje. nenasiel som ani ziadne vzorce, ktore by mi k tomu dopomohli.

hned prvemu kroku nerozumiem, ako sme z cotgx dostali log(cosx)/tgx.. cotgx mozme zmenit na 1/tgx, ale preco sme tu 1tku nahradili vyrazom log(cosx) netusim. isto to bude mat daco spolocne s tym, ze to slo do exponentu nad eulera, ci?

dalej by som sa chcel opytat, ci je mozne ten priklad vyriesit bez derivacie a L'Hospitalovho pravidla

dakujem mockrat

Bati · 08. 10. 2012 00:02 — Editoval Bati (08. 10. 2012 00:11)

Ahoj,
rozepíšu ti to podrobně:

$\ln \left((\cos{x})^{\text {cotg}\,x}\right)=\text {cotg}\,x\cdot\ln\cos x=\cos x\cdot\frac{x}{\sin x}\cdot\frac1x\cdot\frac{\ln\cos x}{\cos x -1}\cdot(\cos x -1)=\nl =-\cos x\cdot\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{\ln\cos x}{\cos x -1}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x\to-1\cdot1\cdot1\cdot\frac12\cdot0=0$
$(\cos x)^{\text{cotg}\, x}=e^{\ln \left((\cos{x})^{\text {cotg}\,x}\right) }\to e^0=1$

Používal jsem pouze věty o limitě složené funkce, aritmetice limit a známé limity.

emer · 08. 10. 2012 10:06 — Editoval emer (08. 10. 2012 15:44)

dakujem za odpoved,

preco sme to ale davali akruat do tohto tvaru? $-\cos x\cdot\frac{x}{\sin x}\cdot\frac{\ln\cos x}{\cos x -1}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot x$

este by som sa chcel opytat na log() vs. ln(). doteraz som bol v tom, ze su to dve rozdielne veci. ale ako vidim, ty si pouzil ln(), moj kamos pouzil log(). ked dam do wolframalpha vyraz napr log(5) = ln(5), tak mi to prepise na log(5) = log(5) a uzna vyrok za pravdivy.

pritom ln(5) = cca 1,609
a log(5) = cca 0,698 (podla mojej kalkulacky)

aby sa log(5) rovnal ln(5), tak by log() musel mat zaklad $e^{1}$ , nie? a ked napisem log(), tak by sa to malo brat ako keby som tam mal zaklad 10, teda $\text{log}_{10}5$ , alebo sa mylim?

preco je to tak?

----
vidim, ze si budem musiet najst doucovatela :D

jarrro · 08. 10. 2012 15:53 — Editoval jarrro (08. 10. 2012 15:53)

↑ emer:v strednej Európe špeciálne na Slovensku a v Česku sa označuje
$\ln{x}:=\log_{\mathrm{e}}{x}\nl \log{x}:=\log_{10}{x}$
v niektorých najmä anglicky hovoriacich krajinách sa označuje $\log{x}:=\log_{\mathrm{e}}{x}$
neviem prečo to nie je jednotné tvoj kamarát pravdepodobne myslel tú americkú (?) verziu
v úpravách od ↑ Bati: boli použité pomerne známe limity
$\lim_{x\to 0}{\frac{\sin{x}}{x}}=1\nl \lim_{x\to 1}{\frac{\ln{$x$}}{x-1}}=1$
a ďalej veci ako spojitosť kosínusu a limita súčinu je súčin limít a limita prevrátenej hodnoty je prevrátená hodnota limity

emer · 08. 10. 2012 15:59

aha, takze

je pravdivy vyrok?

potom mi to dava zmysel

znamu (pre mna neznamu :D) limitu $\lim_{x\to 1}{\frac{\ln{$x$}}{x-1}}=1$ som nepoznal, takze dik moc za vysvetlenie

jarrro · 08. 10. 2012 16:15 — Editoval jarrro (08. 10. 2012 16:32)

↑ emer:áno $\lim_{x\to0}\frac{\text{sin }x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{x}{\text{sin }x}$
je pravda, ale len preto, že je to 1
vo všeobecnosti je to $\lim_{x\to a}{f{$x$}}=\frac{1}{\lim\limits_{x\to a}{\frac{1}{f{$x$}}}}$
čo sa týka limity $\lim_{x\to 1}{\frac{\ln{x}}{x-1}}$
tak sa zvyčajne uvádza v tvare $\lim_{x\to 0}{\frac{\ln{$x+1$}}{x}}$
a odvodiť sa dá napr. tak, že sa použije, že
$\frac{\ln{$x+1$}}{x}=\ln{$\(1+x$^{\frac{1}{x}}\)}$
a argument logaritmu ide k $\mathrm{e}$ , teda logaritmus ide k
$\ln{\mathrm{e}}=1$

emer · 02. 11. 2012 14:39

prosim vas, ako sme dolsi k tomuto?
$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} .\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \lim_{x\to0}\frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{2}$

ved aby mi to tak vyslo, musel by som spravit to, ze by som dosadil 0 iba do casti vyrazu, teda

$\lim_{x\to0}\frac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \lim_{x\to0}\frac{x}{x(\sqrt{0+1}+1)} = lim_{x\to0}\frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$

to mozem daco take urobit? ze dosadit iba do casti vyrazu?

dakujem

didik · 02. 11. 2012 15:22

emer napsal(a):
to mozem daco take urobit? ze dosadit iba do casti vyrazu?

Ne ale můžeš nejdříve pokrátit x a poté teprv dosadit.

emer · 02. 11. 2012 15:54

aha jasne, ja som ostal cely popleteny z toho, uz moc dnes pocitam.... :) dik

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2012 23:36 — Editoval emer (07. 10. 2012 23:53)

Limita bez pouzitia L'Hostpitalovho pravidla

#2 08. 10. 2012 00:02 — Editoval Bati (08. 10. 2012 00:11)

Re: Limita bez pouzitia L'Hostpitalovho pravidla

#3 08. 10. 2012 10:06 — Editoval emer (08. 10. 2012 15:44)

Re: Limita bez pouzitia L'Hostpitalovho pravidla

#4 08. 10. 2012 15:53 — Editoval jarrro (08. 10. 2012 15:53)

Re: Limita bez pouzitia L'Hostpitalovho pravidla

#5 08. 10. 2012 15:59

Re: Limita bez pouzitia L'Hostpitalovho pravidla

#6 08. 10. 2012 16:15 — Editoval jarrro (08. 10. 2012 16:32)

Re: Limita bez pouzitia L'Hostpitalovho pravidla

#7 02. 11. 2012 14:39

Re: Limita bez pouzitia L'Hostpitalovho pravidla

#8 02. 11. 2012 15:22

Re: Limita bez pouzitia L'Hostpitalovho pravidla

emer napsal(a):

#9 02. 11. 2012 15:54

Re: Limita bez pouzitia L'Hostpitalovho pravidla

Zápatí