Matematické Fórum

Xaraso · 01. 11. 2012 20:26

Zdravím, neviem si poradiť z daným príkladom : "Onačme P, množinu všetkých riešení nerovnice $\text{tg}^{2}x<1$ v intervale $(-\Pi ;\Pi \rangle$
Máme zistiť množinu P.
1. krok zamením tg za sin a cos
$\frac{\sin ^{2}x}{cos^{2}x}<1$
2-3. krok odčítam 1 a dám na spoločný menovateľ.
$\frac{sin^{2}x-\cos^{2}x }{\cos ^{2}x}<0$
4.krok použijem vzorec sin na druhu x + cos na druhu x = 1
$\frac{1 - 2\cos ^{2}x}{cos^{2}x}<0$
Ďalej s tým neviem pohnúť. Napadli ma jedine nulové body , no zistil som že neviem vyriešiť rovnicu $\cos ^{2}x=0$
za prípadnú odpoveď ďakujem ^_^

BakyX · 01. 11. 2012 20:34 — Editoval BakyX (01. 11. 2012 20:35)

Ahoj.

Nemusel si meniť tan(x) za sin(x) a cos(x). Platí:

$\tan^2(x)<1 \Leftrightarrow \left|\tan(x)\right|<1 \Leftrightarrow \tan x \in (-1,1)$

Xaraso · 01. 11. 2012 20:45

↑ BakyX: To čo si napísal dáva zmysel, tak som to aj najprv riešil no výsledok $P=\langle-\Pi;-\frac{3\Pi }{4})\cup (-\frac{\Pi }{4};\frac{\Pi }{4})\cup (\frac{3\Pi }{4};\Pi \rangle$ mi vytrel oči tak som to skúsil riešiť nerovnicou ale nedospel som k riešeniu.

BakyX · 01. 11. 2012 21:11

↑ Xaraso:

Skús to vyriešiť najprv na intervale (-pi/2, pi/2) a potom na základe periodicity nájdeš zvyšok riešenia.

Na tom intervale, čo som napísal, je tangens rastúca funkcia. Zistíš, kde nadobúda hodnoty -1,1. "Zhodou okolnosti" v -pi/4, pi/4...

Xaraso · 02. 11. 2012 15:47

Ok díky, potreboval som sa na to vyspať teraz mi to vyšlo ale nemyslím že som to všeobecne pochopil, ak by sme mali na pravej strane rovnice nejaké iné všeobecne neznáme číslo napr by. bolo zadané $\text{tg}x<2$ ako by sa to riešilo ? v tomto príklade som len využil kedy je podľa tabuliek tgx menší ako 1 a väčší ako -1.

BakyX · 02. 11. 2012 16:27 — Editoval BakyX (02. 11. 2012 16:28)

↑ Xaraso:

No v prvom rade by si musel zistiť, tangens ktorého čísla z intervalu -pi/2, pi/2 je rovné 2. A nakoľko je to rastúca funkcia, tak tangens každého čísla menšieho ako to tajomné (ale z intervalu -pi/2, pi/2) je menšie ako 2.

Avšak asi sa pýtaš, ako zistiť to neznáme číslo. Určite na to existuje nejaká numerická metóda, ale osobne ich nepoznám. Na hľadanie tých čísel sa ale najviac používajú kalkulačky - konkrétne funkcia inverzná k funkcii tangens, arkustangens.

Napr. sem zadáš: arctan(2) a ono ti to vyhodí ten hľadaný uhol.

V matematike sa ale zaokrúhľovanie všeobecne neuznáva a preto sa skrátka skonštatuje, že to číslo je $arctan(2)$ . Pri školských príkladoch však máš väčšinou čísla, ktoré sú tangens niečoho pekného (napríklad $1, -1, \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{3}$

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2012 20:26

Nerovnica-goniometria

#2 01. 11. 2012 20:34 — Editoval BakyX (01. 11. 2012 20:35)

Re: Nerovnica-goniometria

#3 01. 11. 2012 20:45

Re: Nerovnica-goniometria

#4 01. 11. 2012 21:11

Re: Nerovnica-goniometria

#5 02. 11. 2012 15:47

Re: Nerovnica-goniometria

#6 02. 11. 2012 16:27 — Editoval BakyX (02. 11. 2012 16:28)

Re: Nerovnica-goniometria

Zápatí