Matematické Fórum

Sulfan · 03. 11. 2012 12:51

Zdravím,
mám za úkol spočítat následující limitu funkce pomocí převedení rozvojem $\text{cotg}^{2}(x)$

$\underset{x\to0} {\lim }\left ( \frac{1}{x^2}-\text{cotg}^{2}(x) \right )$ .

Ale nenapadá mě, jak rozvoj funkce $\text{cotg}^{2}(x)$ zjistit, protože x jde do nuly, tak potřebuju Maclaurinův rozvoj a $\text{cotg}(x)$ není v nule vůbec definovaná. Kdybych dokázal vyjádřit alespoň $\text{cotg}(x)$ pomocí mocninné řady, tak bych dostal

$\underset{x\to0} {\lim }\left ( \frac{(1-x\text{cotg}(x))\cdot (1+x\text{cotg}(x))}{x^2} \right )$

což by mohlo vést k nějakému výsledku. Jakým způsobem se dá spočítat MacLaurinova řada $\text{cotg}(x)$ pro $x\in (0,\pi)$ ?

Děkuji za odpověď.

user · 03. 11. 2012 13:17

Ahoj,
provedl bych převedení na společného jmenovatele ( $\text{cotg}x=\frac{\cos x}{\sin x}$ ) a pak Taylorovy rozvoje funkcí sinus a cosinus do 2. řádu.

Sulfan · 03. 11. 2012 13:27

Jo, to můžu udělat, dostávám tedy toto:
$\frac{\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\sum (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}}{\sum (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\frac{1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+O(x^8)}{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+O(x^9)}=$

Ale tohle nemůžu vydělit člen po členu, když je to součet, nebo snad ano?

user · 03. 11. 2012 13:55 — Editoval user (03. 11. 2012 13:59)

Udělal jsem úpravu limity na:
$\lim_{x\to0}\frac{\sin^2x-x^2\cos^2x}{x^2\sin^2x}=\lim_{x\to0}\frac{(x-\frac{x^3}6+x^4\omega_4(x))^2-x^2(1-\frac{x^2}2+x^3\omega_3(x))^2}{x^2(x+x^2\omega_2(x))^2}$
Což po umocnění závorek dá výsledek. $x^n\omega_n(x)$ je možné zapsat i pomocí $O(x^n)$ .

vanok · 03. 11. 2012 14:25 — Editoval vanok (03. 11. 2012 14:25)

Ahoj,
Poznamka: ide skor o pouzitie asymptotickeho rozvoju ( to je generalalizacia ...)
Metoda:
Je uzitocne vediet, ze ze limitovany rozvoj pre $(1+u)^{-2}$ je
$1-2u+3u^2-4u^3+5u^4 +o(x^4)$
A potom vyjadrit LR pre
$\frac 1 {x^2} - \frac 1 {(xsin(x) )^2}$ a ukoncit vdaka predoslemu vzorcu.
Kontrola: