Matematické Fórum

studentka · 03. 11. 2012 13:51

$\int_{A}^{B}\vec{F}\vec{ds}$
$\vec{F}=(1-\frac{1}{y}+\frac{y}{z})\vec{i}+(\frac{x}{z}+\frac{x}{y^{2}})\vec{j}-\frac{xy}{z^{2}}\vec{k}$
$A=[0;1;1], B=[1;1;1]$
Určete: a) zda je pole nevírové
b) potenciál
c) zadaný integrál

Brano · 03. 11. 2012 23:42

Mozno by si mohla skusit pridat nejaky svoj pokus o riesenie. Napr. v a) treba vypocitat rotaciu F t.j. $\nabla\times\vec{F}=...$

studentka · 04. 11. 2012 15:23

řešení a)
determinant $\vec{i} \vec{j} \vec{k}$
$\frac{\partial }{\partial x} \frac{\partial }{\partial y} \frac{\partial }{\partial z}$
$P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z)$

studentka · 04. 11. 2012 15:24

determinant se musi rovnat nule, ale nevim, jak ho vypocitat.

studentka · 04. 11. 2012 15:34

řešení b)
$V=x-\frac{x}{y}-\frac{xy}{z}+g(y,z)$
$Vy´=\frac{x}{y^{2}}+\frac{x}{z}+g_{y}(y,z) \Rightarrow g_{y}(y,z)=0 \vec{}g_{y}(y,z)=h(z)$
nevim proc se $g_{y}(y,z)$ =0
$V_{z}´=-\frac{xy}{z^{2}}+h(z)´\Rightarrow h(z)´=0\Rightarrow h(z)=c$
a tady to same, proc se rovna $h(z)$ =0 a pak c.

řešení c)
$I=V(B)-V(A)=1$
jak zjistim, V(B) a V(A)?
Děkuji za odpověď

Brano · 04. 11. 2012 22:57

Cize ta rotacia. Pocitaj ten determinant normalne podla Sassusovho pravidla http://cs.wikipedia.org/wiki/Sarrusovo_pravidlo
budu ti vychadzat vyrazy tohoto typu: $\vec{i}\partial_yR$ , kde $\partial_yR$ znamena derivaciu $R$ podla $y$ .
Potom clen pri $\vec{i}$ je prva zlozka vektora, pri $\vec{j}$ druha zlozka a pri $\vec{k}$ tretia. Aby bolo pole nevirove, tak vsetky musia byt nula. Ak ti teda vyjde, ze je nevirove, tak by sa mal dat najst potencial, ak by nevysla nula, tak potencial neexistuje. (Co v skutocnosti znamena, ze ak sa ti podari najst potencial, tak by si to ani nemusela overovat a rovno vyhlasit, ze 0, ale asi to budes musiet urobit aj tak.) Potencial je taka funkcia $V$ , ze $P=\partial_xV$ , $Q=\partial_yV$ , $R=\partial_zV$ . Teraz napr. zacnime odzadu ak $\partial_zV=-xyz^{-2}$ potom $V$ ziskas integraciou podla $z$ cize $V=xyz^{-1}+c(x,y)$ - pretoze po integracii ti ostane este neurcena "konstanta", ale ta moze zavisiet od $x,y$ lebo po derivovani podla $z$ to bude tak, ci tak 0. Teraz to dosadime do rovnice s derivaciou podla $y$ a dostaneme $Q=xz^{-1}+xy^{-2}=\partial_yV=xz^{-1}+\partial_yc$ teda $\partial_yc=xy^{-2}$ a zintegrujeme podla $y$ teda $c=-xy^{-1}+d(x)$ pricom to $d$ moze zavisiet este od $x$ , ale uz nie od $z$ , lebo $c$ bola funkcia $x,y$ . No a potom to dosad do poslednej rovnice - ostane este neurcena konstanta (to uz bude seriozna konstanta - uz od nicoho nezavisla). A na zaver vysledok integralu je ze dosadis bod $B$ do potencialu $V$ , dosadis $A$ do $V$ a odcitas a dostanes vysledok (konstanta sa vyskrta).