Matematické Fórum

Sajmon9114 · 04. 11. 2012 15:52

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícím příkladem, stále mi vychází jiný výsledek, než by měl, ale myslím si, že postup mám snad správný, takže asi vycházím z nějakéo špatného předpokladu.

Zadání je:
Určete hodnoty parametru m, pro které jsou řešením rovnice všechna reálná čísla:
$\frac{x^2-mx-2}{x^2-3m+4}>-1$
Po úpravách mi vychází $\frac{2x^2-mx-3m+2}{x^2-3m+4}>0$ , což by snad mělo být dobře. Dále jsem počítal s tím, že by čitatel i jmenovatel měli být pro $\forall x>0$ , přičemž jsem vyloučil druhou možnou variantu, a to že čitatel i jmenovatel jsou pro $\forall x<0$ , protože obě tyto paraboly mají ve vrcholu minimum. No a když mají být řešením rovnice všechna reálná čísla, předpokládal jsem, že diskriminanty obou kvadratických funkcí jsou $<0$ z toho důvodu, aby obě paraboly ležely celé nad osou x. Jenomže vždy docházím k výsledku, který se neshoduje se správným. Příklad by měl totiž vyjít $m\in (-7;1)$ , mně ale stále vychází $m\in (-24,5;0,65)$ . Tak kdybyste někdo věděl, co s tím, byl bych vděčný :)

nejsem_tonda · 04. 11. 2012 21:45

Cau,
pokud temi cisly $-24.5$ a $0.65$ myslis $-12\pm4\sqrt{10}$ , pak to mas spravne.

Je ale nutne jeste overit, jestli se muze nebo nemuze stat, ze obe kvadraticke funkce (ta v citateli i ta ve jmenovateli) maji oba koreny stejne, tj. meni znamenko ve stejnych bodech. Sice se zjisti, ze to nastat nemuze, ale je nutne to k reseni dodat.

nakoolla · 04. 11. 2012 21:52

↑ Sajmon9114: Dneska jsem to taky počítala a vyšlo mi to stejně jako tobě. Ten výsledek musí být podle mě špatně

Sajmon9114 · 04. 11. 2012 22:20

nejsem_tonda napsal(a):
Cau,
pokud temi cisly $-24.5$ a $0.65$ myslis $-12\pm4\sqrt{10}$ , pak to mas spravne.

Je ale nutne jeste overit, jestli se muze nebo nemuze stat, ze obe kvadraticke funkce (ta v citateli i ta ve jmenovateli) maji oba koreny stejne, tj. meni znamenko ve stejnych bodech. Sice se zjisti, ze to nastat nemuze, ale je nutne to k reseni dodat.

Díky za ověření, tu možnost stejných kořenů jsem taky zkoušel, zapomněl jsem se o tom jenom zmínit :D

Sajmon9114 · 04. 11. 2012 22:27

nakoolla napsal(a):
↑ Sajmon9114: Dneska jsem to taky počítala a vyšlo mi to stejně jako tobě. Ten výsledek musí být podle mě špatně

Taky z IESu? :D Asi to má pan kolega špatně ;)

Arabela · 04. 11. 2012 23:21

Ahoj ↑ Sajmon9114:,
výsledok, ktorý oni uvádzajú, určite nie je dobrý. Stačí si dosadiť za m číslo -8 a presvedčiť sa, že daná nerovnosť je aj v tomto prípade splnená pre všetkz reálne čísla...

Sajmon9114 · 05. 11. 2012 08:50

Zkoušel jsem tam taky dosazovat, ale ty výsledky vždycky seděly, tak jsem si jenom nebyl jistý, jestli mám správný postup :)

Rumburak

Ahoj.

Jak už Tě upozornil kolega ↑ nejsem_tonda:, nemáš to celé (přinejmenším po formální stránce).

Postupoval bych ale trochu jinak.

Má-li nerovnost

(1) $\frac{x^2-mx-2}{x^2-3m+4}>-1$

být splněna pro každé reálné $x$ , potom především jmenovatel zlomku v (1) nesmí mít reálný kořen, protože kdyby měl reál. kořen $r$ ,
pak pro $x=r$ by zlomek nebyl definován a tedy by ani nemohla být splněna nerovnost (1).

Odtud dostáváme první podmínku

(2) $-3m + 4 > 0$ .

Je-li splněna, potom i jmenovatel zlomku v (1) je kladný a můžeme jím tuto nerovnost vynásobit a tím dostat

(3) $2x^2-mx-3m+2>0$

a odtud $D(m) < 0$ , kde $D(m)$ je diskriminant kvadr. polynomu tvořícího levou stranu v (3), takže

(4) $-12 - 4\sqrt{10} < m < -12 + 4\sqrt{10}$ ,

jak patrně vyšlo i Tobě .

Výsledným řešením úlohy tedy bude řešení soustavy nerovnic (2), (4), což už jsem podrobně neprováděl.

nejsem_tonda · 05. 11. 2012 11:37

↑ Rumburak:

kdyby měl kořen $r$ , pak pro by zlomek nebyl definován a tedy by ani nemohla být splněna nerovnost (1)

Je pravda, ze bychom meli byt opatrnejsi. Ono neni moc jasne, jak presne zadani zni. Sajmon v zadani pise, ze ma platit rovnice... to bychom nemeli vubec zadne reseni. Pokud by pozadavek v zadani byl, ze nerovnost ma platit pro vsechna realna cisla, pro ktera ma leva strana smysl, pak by bylo potreba overovat, zda muzou mit obe kvadraticke funkce stejne koreny. Je-li v zadani, ze nerovnost ma platit pro vsechna realna cisla, pak souhlasim s Rumburakem.

Sajmon9114

Zadání bylo doslova právě takové, jaké jsem napsal :) Taky mi přijde trochu nejasné, co se dá dělat :D Ale kdybychom ověřovali, zda nemají funkce stejné kořeny, pro m by nám pak vyšly, nemýlím-li se, dvě hodnoty, přičemž ve výsledku je interval, takže takto to asi myšleno nebylo :)

Rumburak

↑ Sajmon9114:

Řešením nerovnice s parametrem mají být, jak uvedeno v zadání, všechna reálná čísla, to znamená, že úvaha o společných reálných
kořenech je zde irrelevanltní (viz můj příspěvek ↑ Rumburak:) .

Ta úvaha by se ale hodila v případě, když by v zadání stálo, že nerovnice má být splněna pro všechna přípustná reálná čísla.
Vykrácením zlomku společným kořenovým činitelem bychom dospěli k nerovnosti tvaru

$\frac{x + f(m)}{x + g(m)} > 0$

a této nerovnosti by pak vyhovovaly všechny přípustné hodnoty $x$ pouze v případě $f(m) = g(m)$ .

Sajmon9114 · 06. 11. 2012 14:19

↑ Rumburak: Díky moc, máš pravdu :)

Matematické Fórum

#1 04. 11. 2012 15:52

Nerovnice s parametrem

#2 04. 11. 2012 21:45

Re: Nerovnice s parametrem

#3 04. 11. 2012 21:52

Re: Nerovnice s parametrem

#4 04. 11. 2012 22:20

Re: Nerovnice s parametrem

nejsem_tonda napsal(a):

#5 04. 11. 2012 22:27

Re: Nerovnice s parametrem

nakoolla napsal(a):

#6 04. 11. 2012 23:21

Re: Nerovnice s parametrem

#7 05. 11. 2012 08:50

Re: Nerovnice s parametrem

#8 05. 11. 2012 11:20 — Editoval Rumburak (05. 11. 2012 11:34)

Re: Nerovnice s parametrem

#9 05. 11. 2012 11:37

Re: Nerovnice s parametrem

#10 05. 11. 2012 12:46 — Editoval Sajmon9114 (05. 11. 2012 12:47)

Re: Nerovnice s parametrem

#11 05. 11. 2012 16:03 — Editoval Rumburak (05. 11. 2012 16:04)

Re: Nerovnice s parametrem

#12 06. 11. 2012 14:19

Re: Nerovnice s parametrem

Zápatí