Matematické Fórum

korni · 07. 11. 2012 08:57

Nazdar,
řeším takový problém. Potřebuji znát osovou výšku komolého kužele.

Znám: V,r2,uhel mezi horní podstavou kde je r2 a boční stěnou

Je to jakýmsi způsobem řešitelné?

Když vycházím ze znalosti objemu tak mám v rovnici 2 neznáme, pokud je chci dopočítat tak jsme to zkoušel přes pravoúhlý trojúhelník si vyjádřit výšku kužele. Jenže pak mi vznikne vskutku nepřehledná rovnice.

Děkuji za jakékoliv postřehy a rady popřípadě vyjádření

Rumburak

Ahoj.

Náš komolý kužel $K$ vznikne tak, že od jistého kužele $K_1$ "odřízneme" kužel $K_2$ . Pokud bych to řešil elementárně
pomocí prostředků SŠ matematiky, tak bych si nejprve určil ten kužel $K_2$ . Ze znalosti $r_2$ a úhlu $\omega$ površky s osou
snadno určíme jeho výšku $v_2 = \frac{r_2}{\tan \omega }$ i objem $V_2$ .
Kužel $K_1$ s výškou $v_1 = v + v_2$ a objemem $V_1= V_2 + V$ (kde $v$ , $V$ jsou neznámá výška a známý objem
komolého kužele) je stejnolehlý s kuželem $K_2$ , koeficient této stejnolehlosti je $k = \frac{v_2 + v}{v_2}$ , takže $\frac{V_2 + V}{V_2} = k^3$ .
Vyloučením neznámé $k$ z této soustavy dostaneme celkem pěknou rovnici pro zbývající neznámou $v$ .

Šlo by to řešit i pomocí integrálního počtu.

korni · 07. 11. 2012 19:59

Ahoj,
vytvořil jsem si v excelu prográmek na tento výpočet a ze zkušeností nám vychází velice reálné hodnoty. Tudíž bych rád poděkoval

Ale jen tak pro zajímavost by mě zajímalo jaký by měl tvar určitý integrál.

Díkkkk

Rumburak

↑ korni:

Umístíme si kužel do soustavy Pxyz tak, aby jeho vrchol splýval s počátkem a osa s kladnou poloosou souřadnicové osy x.
Kužel tedy vznikne rotací přímky o rovnici $y = qx$ (jde o přímku v rovině Pxy, $q = \tan \omega$ ) okolo osy x , takže
pro objem komolého kužele bude platit

$V = \pi \int_{v_2}^{v_2 + v}(qx)^2 \,\mathrm{d}x$ ,

čímž opět získáme rovnici pro výšku $v$ . Ale netvrdím, že tento postup je lepší než předchozí.

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2012 08:57

Výpočet výšky komolého kužele

#2 07. 11. 2012 10:21 — Editoval Rumburak (07. 11. 2012 10:23)

Re: Výpočet výšky komolého kužele

#3 07. 11. 2012 19:59

Re: Výpočet výšky komolého kužele

#4 08. 11. 2012 10:12 — Editoval Rumburak (08. 11. 2012 11:23)

Re: Výpočet výšky komolého kužele

Zápatí