Matematické Fórum

ag105 · 07. 11. 2012 10:14

$27^\circ 17^\prime + k\cdot 360^\circ$ , $78^\circ 59^\prime+k\cdot 360^\circ$ Dobrý den, mám problém dojít ke správnému výsledku u tohoto příkladu: 8sinx + 6cosx = 9
1.krok: umocnění: $64\sin ^{2}x+36\cos ^{2}x=81$
2.krok: upravila jsem cosinus: $64\sin ^{2}x+36(1-\sin ^{2}x)=81$ => $64\sin ^{2}x+36-36\sin ^{2}x=81$
3.krok: pokusila jsem se zavést substituci sinx=t a nevychází mi to..
Správný výsledek je: 27°17´+ k.306°, 78°59´+ k.360°

Můžete mi prosím pomoci?

mikl3 · 07. 11. 2012 10:20

↑ ag105: jenže $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$

zdenek1 · 07. 11. 2012 10:43

↑ ag105:
zavedeš si substituci $x=2y$ a dostaneš
$8\sin2y+6\cos2y=9$ použiješ vzorce pro dvojnásobný argument
$16\sin y\cos y+6\cos^2y-6\sin^2y=9\sin^2y+9\cos^2y$
$15\sin^2y-16\sin y\cos y+3\cos^2y=0$ vydělíš $\cos^2y$ , což můžeš, protože $\cos y=0$ není rešení.
$15\tan^2y-16\tan y+3=0$
$\tan y=\frac{8\pm\sqrt{19}}{15}$
$y=\arctan\left(\frac{8\pm\sqrt{19}}{15}\right)+k\pi$ , $k\in\mathbb Z$
$x=2y=2\arctan\left(\frac{8\pm\sqrt{19}}{15}\right)+2k\pi$ , $k\in\mathbb Z$

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2012 10:14

goniometrická rovnice

#2 07. 11. 2012 10:20

Re: goniometrická rovnice

#3 07. 11. 2012 10:43

Re: goniometrická rovnice

Zápatí