Matematické Fórum

paha154

-

Arabela

Ahoj ↑ paha154:,

skúšala som to tak, ako Tz, ale k ničomu to neviedlo. Potom som ale dané tvredie ekvivalentne upravila a dôkaz matematickou indukciou bol hračkou!
Najskôr tá úprava: $n^{n+1}>(n+1)^{n}\Leftrightarrow$
$n^{n}*n^{1}>(n+1)^{n }\Leftrightarrow$
$n>\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}\Leftrightarrow$
$n>(\frac{n+1}{n})^{n}\Leftrightarrow$
$n>(1+\frac{1}{n})^{n}\Leftrightarrow$ .

Teraz ten druhý krok indukcie. Indukčný predpoklad: $(1+\frac{1}{k})^{k}<k$ .
Chceme ukázať, že ak platí tento predpoklad, tak platí aj
$(1+\frac{1}{k+1})^{k+1}<k+1$ .
Postupnými úpravami dostávame
$(1+\frac{1}{k+1})^{k+1}=(1+\frac{1}{k+1})^{k}*(1+\frac{1}{k+1}<(1+\frac{1}{k})^{k}*(1+\frac{1}{k+1}) < k*(1+\frac{1}{k+1})=$ ...= $\frac{k*(k+2)}{k+1}<k+1$
Využili sme triviálne splnené nerovnosti a indukčný predpoklad.

Mephisto · 08. 11. 2012 12:22

No to by snad mělo být úplně přímočaré, ne?

Tak podle indukčního předpokladu platí, že $(n+1)^n<n^{n+1}$ .

Položme $k=n+1$ .

Pak $(n+2)^{n+1}=(k+1)^k<k^{k+1}=(n+1)^{n+2}$
a to jsme přesně měli ukázat... ne?

kompik · 08. 11. 2012 15:21

↑ paha154:
Skusme len indukcny krok.

Chceme dokazat: $n^{n+1}> (n+1)^{n}$ .

Skusme to sporom, cize predpokladajme, ze plati opacna nerovnost $(n+1)^n\ge n^{n+1}$ .

Sucasne vieme, ze plati (indunkcny predpoklad): $(n-1)^n > n^{n-1}$ .

Vynasobenim tychto dvoch nerovnosti dostavame:
$(n^2-1)^n > n^{2n}=(n^2)^n,$
co je ocividne spor.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2012 22:38 — Editoval paha154 (14. 09. 2014 19:08)

-

#2 07. 11. 2012 23:21 — Editoval Arabela (07. 11. 2012 23:25)

Re: -

#3 08. 11. 2012 12:07 Příspěvek uživatele paha154 byl skryt uživatelem paha154. Důvod: FIN

#4 08. 11. 2012 12:22

Re: -

#5 08. 11. 2012 15:21

Re: -

Zápatí