Matematické Fórum

Komanc · 26. 11. 2008 16:14 — Editoval Komanc (26. 11. 2008 16:30)

Zdravim, chtel bych vas poprosit o pomoc s vysetrenim, zda integral konverguje nebo diverguje.

Diky alespon za nejake nastrely, ktere by pomohly s resenim.
(Mysleno tak, ze vubec nevim jak zacit. :( )

Pavel Brožek

Pro začátek:

Problém může nastat jedině na okolí nuly nebo jedničky, protože pro každé $\frac12>\varepsilon>0$ je $\sqrt{x}\cdot\ln^q$\frac1x$$ omezená funkce na $[\varepsilon,\, 1-\varepsilon]$ .

Pro q<0 není problém v okolí nuly: limita funkce do nuly je nula, takže na okolí nuly je funkce omezená.
Pro q=0 integrál zřejmě konverguje.
Pro q>0 není problém v okolí jedničky: limita funkce do jedničky je nula, takže je funkce na okolí jedničky omezená.

Zbývá dořešit případy q<0 v okolí jedničky a q>0 v okolí nuly.

andrew · 26. 11. 2008 17:55

to Komanc: Dany integral konverguje pro q > -1. Zapouziti substituci ukaz, ze jde o gama funkci a jak znamo gama funkce konverguje pro kladnou realnou cast.

Komanc · 27. 11. 2008 14:18

Nejprve diky za snahu. O gama funkci nam jeste nerikali, takze to je asi pase. :/ Ve skole nam ukazovali vysetrovani konvergence pomoci srovnvacich funkci. Mam tu napsane nejake vhodne srovnavaci funkce jako:

$\int_{0}^{a}{\frac{1}{x^\alpha}dx}$ - spatny bod: 0,
$\int_{a}^{\infty}{\frac{1}{x^\alpha}dx}$ - spatny bod: $+\infty$ ,
$\int_{a}^{b}{\frac{1}{(b-x)^\alpha}dx}$ - spatny bod: b.
(A jejich obmeny kdy je alfa zaporne, nebo v tretim pripade je spatnym bodem a misto b.)

Bohuzel me opravdu nenapada jak onu srovnavaci funkci ziskat.

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2008 16:14 — Editoval Komanc (26. 11. 2008 16:30)

Konvergence integralu s parametrem

#2 26. 11. 2008 16:54 — Editoval BrozekP (26. 11. 2008 16:55)

Re: Konvergence integralu s parametrem

#3 26. 11. 2008 17:55

Re: Konvergence integralu s parametrem

#4 27. 11. 2008 14:18

Re: Konvergence integralu s parametrem

Zápatí