Matematické Fórum

lucille · 08. 11. 2012 12:16

mám zadanou kružnici |z-(4+6i)|=5 a přímku dvěma body 3+3i a 7+51. mám určit obecné rovnice a potom vypočítat průsečíky. obecné rovnice mám:
$\bar{z}z+z(4-6i)+\bar{z}(4+6i)+27=0$
$z(4-2i)+\bar{z}(4+2i)+12i=0$
průsečíky by se asi měli spočítat tak, že se tohle vyřeší jako soustava rovnic, ale s tím si právě nevim rady. zkoušela jsem za zetka dosadit a+-bi ale vyšli nějaký příšernosti.
takže je ta myšlenka správná nebo jsem úplně mimo? nebo by se snad mělo počítat se z a $\bar{z}$ jako se dvěma neznámými?

jelena · 08. 11. 2012 13:09

Zdravím,

nekontrolovala jsem Tvůj mezivýpočet, ale návrh s

zkoušela jsem za zetka dosadit a+-bi ale vyšli nějaký příšernosti.

se mi zdá být použitelný, měla bys dostat soustavu rovnic s a, b a porovnávat reálnou=reálnou, imaginární=imaginární. Tak to nevychází? Děkuji.

lucille · 08. 11. 2012 13:24

když to dosadim vzninou mi rovnice
$a^2+b^2-8a-12b+27=0$ a
$8a+4b+12i=0$
všechen zbytek vypadne... tak co teď s tím? kontrolovala jsem si ty předchozí výpočty ale chybu tam najít nemůžu...

jelena · 08. 11. 2012 13:27

↑ lucille:

vyjádřit b z 2. rovnice a dosadit do 1. rovnice - zkoušela jsi? Děkuji.

lucille · 08. 11. 2012 13:39

jop, potom vyjde kvadratická rovnice jejíž diskriminant je -248-336i a vzhledem k tomu že mají vyjít ty průsečíky jako celá čísla je to špatně... no asi budu mít teda chybu v tom začátku. zkusim to znovu snad něco objevim...

můžu ještě teda se ujistit jak je to s tou obecnou rovnicí přímky? našla jsem vzorec, podle kterýho jsem určila směrový vektor stejně jako v klasický analytický geometrii a potom dosadila do $s\bar{z}+\bar{s}z+z_{1}\bar{s}-\vec{z_{1}}s=0$ je tohle vůbec dobře?:-)

vanok · 08. 11. 2012 13:55

Ahoj ↑ lucille:, ako aj ↑ jelena:
Priamka co si mala najst, ma inu rovnicu ako tvoja rovnica.

Ta rovnica co si nasla, representuje prazdnu mnozinu. Uvedom si ze ziadne realne cislo nemoze byt rovne nenulovemu komplexnemu cislu!

Tiez skontroluj aj ine tvoje vypocty.

jelena · 08. 11. 2012 16:35

↑ vanok:

ještě pozdrav a děkuji za pozornější čtení, než to moje (soustředila jsem se jen na požadavek řešení soustavy, bez ↑ kontroly mezivýpočtů:).

lucille · 08. 11. 2012 18:33

Dobře, tak jinak. rovnice primky by měla být
$z-z_{1}=t(z_{2}-z_{1})$
To by mělo být dobře,ne? ale kazdopadne nevím jak z toho vytvořit obecnou rovnici...

vanok · 08. 11. 2012 19:06 — Editoval vanok (08. 11. 2012 19:21)

Ano, to je tento krat dobra rovnica tvojej priamky pre $t \in R$
Inac rozpisat z, ako si navrhla je jedna mozna dobra metoda.
Tak daj tu detaily tvojich vypoctoch,
A potom uvidime.

lucille · 08. 11. 2012 19:33

kružnice
$|z-(4+6i)|=5$
převedu to na obecnou rovnici:
$[z-(4+6i)][\bar{z}-(4-6i)]=25$
$z\bar{z}-z(4-6i)-\bar{z}(4+6i)+16+36-25=0$
$z\bar{z}-z(4-6i)-\bar{z}(4+6i)+27=0$

když tam dosadim a+-bi:
$a^{2}+b^{2}-(a+bi)(4-6i)-(a-bi)(4+6i)+27=0$
$a^{2}+b^{2}-(4a+6ai+4bi+6b)-(4a-6ai-4bi+6b)+27=0$
$a^{2}+b^{2}-8a-12b+27=0$

přímka:
$z-z_{1}=t(z_{2}-z_{1})$
$(a+bi)-(3+3i)=t[(7+5i)-(3+3i)]$ takhle? tu přímku asi nechápu...

vanok · 08. 11. 2012 21:12 — Editoval vanok (08. 11. 2012 21:13)

Este jedna poznamka (co ste iste videli na prednaske)
Rovnica kruznice sa da napisat aj takto
$z \bar z - \bar w z -w \bar z +k=0$ , kde $w=u+iv$
a potom mame
ak $w \bar w-k<0$ , je imaginarna kruznica
ak $w \bar w-k=0$ , ide o kruznicu bod, redukovvanu na jej stred M(u;v)
ak $w \bar w-k>0$ , ide o kruznicu stredu M(u;v), taku ze $R^2=w \bar w-k$

Tak teraz urci o aku kruznicu ide.

A potom sa pozrieme na poslednu etapu.

lucille · 21. 11. 2012 14:42

$(4+6i)(4-6i)-27=16+36-27=25$
takže je to ten třetí případ. $R^{2}=w\bar{w}-k$

ale co teda s tou přímkou prosím?

vanok · 21. 11. 2012 15:12 — Editoval vanok (21. 11. 2012 15:18)

Ahoj, uz som si myslel, ze sa nevratis k tomuto cviceniu.

Rovnicu priamky si dobre napisala tu ↑ lucille:
$z-z_{1}=t(z_{2}-z_{1})$ , kde parameter t je realne cislo. $(*)$
Zda sa mi ze treba vediet ako sa pise rovnica priamky v rovnicovej forme bez parametrov.

Ak sa pozries na $(*)$ , tak vidis, ze $\frac {z_2-z_1}{z-z_{1}}$ musi byt realne cislo.
A to sa da vyjadrit, ze je rovne jeho konjugovanemu cislu.
$\frac {z_{2}-z_{1}} {z-z_{1}}= {\frac {\bar{z_2}-\bar{z_1}} {{\bar z}-\bar {z_1}}}$

Co sa este pise ........pokracuj ..... zjednodus

lucille

$\frac{z-z_{1}}{z_2-z_1}=\bar{\frac{z-z_1}{z_2-z_1}}$
$\frac{(a+bi)-(3+3i)}{(7+5i)-(3+3i)}=\frac{(a-bi)-(3-3i)}{(7-5i)-(3-3i)}$
$\frac{(a+bi)-(3+3i)}{4+2i}=\frac{(a-bi)-(3-3i)}{4-2i}$
...
$4a=8b$
takže rovnice přímky by byla $a-2b=0$

správně?

vanok · 21. 11. 2012 16:27 — Editoval vanok (21. 11. 2012 19:01)

↑ lucille:
Kontrola na obrazku je uzitocna vec.

Ale ak ste to nevideli v skole, je zaujimave urobit to cvicenie z priamkou aj vseobecne. Skus to.

lucille · 21. 11. 2012 16:54

no obrázek byl špatně....tím poádem i ta rovnice je špatně ale nevím kde hledat chybu...

vanok · 21. 11. 2012 19:01

↑ lucille:,
Ako vidis ta kontrola na obrazku ti ukazala chybu.
Ako som ti povedal, imaginarna cast musi byt 0.
To mi dalo $a-2b+3=0$

poznamka: misto a a b; sa pise castejsie x a y.

lucille · 21. 11. 2012 19:12

jaj, už to vidim... díky moc za pomoc :-)

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2012 12:16

průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#2 08. 11. 2012 13:09

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#3 08. 11. 2012 13:24

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#4 08. 11. 2012 13:27

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#5 08. 11. 2012 13:39

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#6 08. 11. 2012 13:55

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#7 08. 11. 2012 16:35

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#8 08. 11. 2012 18:33

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#9 08. 11. 2012 19:06 — Editoval vanok (08. 11. 2012 19:21)

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#10 08. 11. 2012 19:33

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#11 08. 11. 2012 21:12 — Editoval vanok (08. 11. 2012 21:13)

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#12 21. 11. 2012 14:42

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#13 21. 11. 2012 15:12 — Editoval vanok (21. 11. 2012 15:18)

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#14 21. 11. 2012 16:18 — Editoval lucille (21. 11. 2012 16:38)

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#15 21. 11. 2012 16:27 — Editoval vanok (21. 11. 2012 19:01)

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#16 21. 11. 2012 16:48 Příspěvek uživatele lucille byl skryt uživatelem lucille. Důvod: chyba

#17 21. 11. 2012 16:54

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#18 21. 11. 2012 19:01

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

#19 21. 11. 2012 19:12

Re: průsečíky kružnice s přímkou a gaussově rovině

Zápatí