Matematické Fórum

mulder · 08. 11. 2012 10:59

Zdravím, mám problém s tímto příkladem. Vyšetřete, pro které hodnoty parametru c je průnik přímky 2x-y+c=0 s křivkou $(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=4$ a) prázdný, b) jednobodový, c) dvoubodový. Došel do fáze, že jsem si převedl rovnici kružnici na obecný tvar a do této rovnice jsem dosadil y=2x+c. A tady jsem skončil. Můžete mi prosím poradit jak dále.
Děkuji

Brano · 08. 11. 2012 12:02

Takze ti vysla kvadraticka rovnica pre $x$ s parametrom $c$ . Zisti kolko ma (realnych) rieseni - ak ma 0, tak nemaju prienik ak ma 1 riesenie, tak maju prienik 1 bod, cize je to dotycnica a ak ma 2 riesenia, tak secnica.

Pocet rieseni zistis zo znamienka diskriminantu.

mulder · 08. 11. 2012 12:15 — Editoval mulder (08. 11. 2012 14:08)

↑ Brano:Po úpravě mi vyšla rovnice $5x^{2}+2x*(2c-1)+c^{2}+4c+6=0$ kde A=5, B=2c-1 a C= $C=c^{2}+4c+1$ . Pak mi vyšel diskriminant $D=-16c^{2}-84c-119$ a tady jsem skončil.

MightyPork · 08. 11. 2012 15:18

↑ mulder:

počítal jsem to dvakrát, ale ta rovnice mi pokaždé vyšla jinak než tobě:

$5x^{2}-x(2+4c)+(c^{2}+2c+6) = 0$

zkus to zkontrolovat, třeba tam máš numerickou chybu

mulder · 08. 11. 2012 18:46

↑ MightyPork:Ano, udělal jsem tam chybu. Tak snad to teď dopočítám správně. Jen pro správnost. $A=5, B=2+4c, C=c^{2}+2c+6$

MightyPork · 08. 11. 2012 18:49

↑ mulder: jj, já tyhle rovnice nemám rád, taky tam vždycky udělám chybu :)

mulder · 08. 11. 2012 18:54

↑ MightyPork:Po dosazení do výpočtu kořenů $x_{1,2}$ mi vyšlo pod odmocninou $-4c^{2}-24c-116$ a když z toho vytvořím nerovnici, tak potom dostanu záporný diskriminant.

MightyPork · 08. 11. 2012 19:01

↑ mulder: taky mi to tak vyšlo, D = -1280.

Zkusím to spočítat ještě jednou, ale nevím...

mulder · 08. 11. 2012 19:08

↑ MightyPork:Už vím kde nastala chyba. U písmena B má být 2-4c a potom diskriminant vyjde 80. $c_{1,2}=-14\mp \sqrt{80}/2$

MightyPork · 08. 11. 2012 19:18

↑ mulder:
nene, ve skutečnosti $B = -2 - 4c$

řešení je pak docela hezké a dostaneš $c_{1,2}=\{-9;-3\}$

a protože je to parabola konkávní, tak:

tečna pro $c \in \{-9;-3\}$

sečna pro $c \in (-9;-3)$

a vnější pro $c \in (-\infty;-9) \cup (-3;\infty)$

aspoň doufám ;)

mulder · 08. 11. 2012 19:27

↑ MightyPork:To se mi moc nezdá. To je to samé, když B=2+4c

MightyPork · 08. 11. 2012 19:30

↑ mulder:
Z té rovnice se to mínus před X musí dostat to té závorky u B, tedy -x(2+4c) ne nemění na +x(2-4c), ale +x(-2-4c).
Já pevně věřím že můj výsledek je správný, ale klidně to zkus znova a lépe :)

mulder · 08. 11. 2012 19:33

↑ MightyPork:Napiš ty kořeny $x_{1,2}$ celý ten vzorec

mulder · 08. 11. 2012 19:34 — Editoval mulder (08. 11. 2012 19:36)

↑ mulder:Zkoušel jsem to podle tohoto odkazu
http://www.wolframalpha.com/input/?i=so … ;t=mfftb01

MightyPork · 08. 11. 2012 19:42

↑ mulder: jaké x1,2? ty počítáš c.

postup, vše najednou:

mám tu rovnici
$5x^{2}+x(-2-4c)+(c^{2}+2c+6) = 0$
kde $A=5$ , $B=(-2-4c)$ a $C=(c^{2}+2c+6)$

sestavím rovnici diskriminantu:
$D = (-2-4c)^2 - 4*5*(c^{2}+2c+6)$

tu položím rovnu 0, to jest pro jaké C je přímka tečnou:
$0 = (-2-4c)^2 - 4*5*(c^{2}+2c+6)$

tuhle teď upravím na tvar
$-(c^2)-12c-27=0$

a počítám vzorcem c1,2:
$c_{1,2} = \frac{12\pm \sqrt{(-12)^2-4\cdot -1\cdot -27}}{2*-1}$

lépe zapsáno
$c_{1,2} = \frac{12\pm \sqrt{12^2-4\cdot27}}{-2}=\{-9;-3\}$

protože u $c^2$ bylo mínus, je konkávní.

mulder · 08. 11. 2012 19:51

↑ MightyPork:Ale když roznásobíš závorku (-2-4c) tak dostaneš -2x-4xc ale tam po úpravě je -2x+4xc. Tak teď nevím kdo má pravdu. Bylo by hezké kdyby vyšly celá čísla.

Brano · 09. 11. 2012 00:23

↑ mulder:
mne to vyslo $5x^{2}+2x*(2c-1)+c^{2}+2c+6=0$
a diskriminant
$-4(c^2+14+29)$
a riesenia necelociselne

http://www.wolframalpha.com/input/?i=di … 1%29%5E2-4

mulder · 09. 11. 2012 06:53

↑ Brano:Takhle mi to vyšlo taky. Diskriminant je 80. Umíš mi ty kořeny napsat a dopočítat body tečen.

Brano · 09. 11. 2012 11:42

Myslel som, ze to uz zvladnes sam v tom wolframe - cize taky maly tutorial.

w|a vypocital ten diskriminant - na ten vysledok sa da kliknut a vlozi sa ako vstup do dalsieho vypoctu - opises si korene (roots), alebo znova kliknes a pripises k tomu rovnicu, napr. takto
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … y%3D2x%2Bc
podobne pre to druhe $c$ .
Toto ti vysli body dotyku, ak ta vobec zaujimaju. Rovnica dotycnice je jednoduchsia to je predsa iba $y=2x+c$

Rumburak · 09. 11. 2012 11:48

↑ mulder:

Ahoj. Snadno by to šlo řešit i následující úvahou:

$(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=4$ je rovnice kružnice o středu S[3, -1] a poloměru 2 .

My máme v podstatě zjistit, pro které hodnoty prametru c má bod S od přímky 2x-y+c=0 vzdálenost

a) > 2 , b) = 2 , c ) < 2 .

Použijeme vzorec pro vzdálenost bodu od přímky.

mulder · 09. 11. 2012 12:21

↑ Rumburak: Hodnoty mi vyšli následující. $c_{1}=-7+2\sqrt{5}, c_{2}=-7-2\sqrt{5}$ Potom když $c\in (c_{1},c_{2})$ tak diskriminant bude větší než nula a dostaneme sečny. Když dosadíme $c=-7+2\sqrt{5}$ nebo $c=-7-2\sqrt{5}$ dostaneme diskriminant, který bude roven nule a budou to tečny. A třetí možnost je ta, že $c\in (-\infty ;-7-2\sqrt{5})\cup (-7+2\sqrt{5};+\infty )$ , diskriminant bude menší než nula a dostaneme, že kružnice se s přímkou neprotíná.

Rumburak · 09. 11. 2012 16:11

↑ mulder:

Vzdálenost bodu $S[m, n]$ od přímky $p : ax + by + c = 0$ je podle známého vzorce

$d(p, S) = \frac{|am + bn + c| }{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ,

speciálně pro přímku $p : 2x - y + c = 0$ a bod $S[3, -1]$ dostáváme

$d(p, S) = \frac{|2\cdot 3 - (-1) + c| }{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}= \frac{|7 + c| }{\sqrt{5}}$ .

Přímka $p$ bude s danou kružnicí (o středu $S$ a poloměru $2$ ) mít

a) jeden společný bod, právě když $d(p, S) = 2$ , tedy $\frac{|7 + c| }{\sqrt{5}}=2$ ... atd. ,

což vede ke stejnému výsledku, jakého jsi dosáhl Ty.