Matematické Fórum

Pri kazdej kombinatorickej ulohe si treba vybrat nejaky sposob ako budeme vymenuvat tu mnozinu, ktorej pocet prvkov treba zistit. Moze byt vzdy viacero postupov veducich k rieseniu. V tomto priklade navrhujem toto.
Najpr spocitajme stvorce "velkosti" 1, potom 2 atd.
Ak uvazujeme nejaky stvorec (v mriezke), tak je jednoznacne zadany svojou velkosto a polohou (napr.) laveho horneho rohu.

Teda kde vsade sa mozu nachadzat lave horne rohy stvorcov velkosti 1? A teda kolko ich moze byt?
Potom kde vsade sa mozu nachadzat lave horne rohy stvorcov velkosti 2? Atd.

Napis k comu si prisiel.

My jsme se ještě  kombinatoriku neučily, takže jsem nedošel k ničemu. Zajimalo mě jen, jak to spočítat a netušil jsem, že je to tak složitý.

Poznamka:
Mas v texte velmi dobre rady od kolegov.
Prakticky mozes postupovat aj takto.
( slovo kombinatorika, v tomto cviceni, treba interpretovot v sirokom vyzname slova: ide o  geometricke kombinacie utvarov, ktorych pocet sa vycisluje...)
A naviac, je mozne, pouzit "geometricke" uvahy na dokaz vseobecneho vzorca ( co nie je tazsie ako sa zastavit na tvojom danom stvorci)
Co sa tyka vseobecneho vzorca, sa mi zda ze treba dokazat, ze pre stvorec strany, mame
celkove

( co mozes dokazat empiricky pre male hodnoty n)

A teraz skus najst co sa stane ( vdaka jednoduchym "kombinatorickym" uvaham) ak sa stvorec zvedci zo strany dlzky na stvores strany

Iste ti toto postaci na jednu(moznu)  metodu riesenia problemu (vdaka matematickej indukcie).

↑ Child:
"Mriežka" (alebo mreža) je to čo máš nakreslené na tvojom obrázku (čiernou) - teda rovnobežné priamky a na ne kolmé ďalšie rovnobežné priamky, pričom vzdialenosť susedných rovnobežiek je fixná, napr. 1cm (alebo čokoľvek iné, ale rovnaké pre všetky priamky).

"Mrežový bod" je priesečník dvoch kolmých priamok. Všetky štvorce čo sa tam dajú vidieť majú teda vrcholy v mrežových bodoch.

Štvorec so stranou 1 = štvorec so stranou dĺžky 1 = štvorec so stranou takej dĺžky ako je vzdialenosť susedných rovnobežiek v mreži.

Aby som to spisal systematicky.

Cely stvorec je 6x6. To znamena, ze je tam dohromady 7x7 mrezovych bodov.
Aby sme zratali vsetky svorce so stranou 1, staci zratat ich lave horne rohy a tie mozu byt iba na prvych 6 priamkach zhora a zlava (a mozu to byt iba mrezove body) a je ich 6x6 - su usporiadane do svorca.

Potom mozme spocitat stvorce so stranou 2 a znova pocitajme iba lave horne rohy. Tie mozu byt na prvych 5 priamkach (zhora, zlava) a je ich teda 5x5.

Stvorcov so stranou 3 ... 4x4, atd.

Vysledok je, ze vsetkych stvorcov bude .

Len tak pre zaujimavost, plati takyto vzorec , mozes si ho dokazat indukciou.

Upresni zadanie. V obdlzniku hladame stvorce, alebo lubovolne obdlzniky, alebo nieco ine?

No to si velmi neupresnil :), v podstate si len zopakoval to co si povedal predtym.
Mam si to predstavit tak, ze ta mriezka je taka, ze najmensi utvar su obdlzniky? Alebo su to stvorceky a je ich 5x4?
A stale si nepovedal ake utvary ideme hladat/pocitat - stvorce/vsetky obdlzniky/obdlzniky s pomerom stran 4 ku 5/...

OK, cize postup je taky isty ako spocitat vsetky obdlzniky v stvorcovej mriezke.

Mozme to skusit takto. Nech je tam malych obdlznickov. Pocet vsetkych mrezovych bodov je potom . Vyberieme jeden a potom vyberieme druhy tak, aby nelezal na tej istej priamke (zvislej ani vodorovnej) t.j. moznosti. Dohromady teda moznosti, len si teraz treba uvedomit, ze kazdy obdlznik si vybral 4-krat, cize pocet obdlznikov je - k tomuto zapisu by sa dalo dospiet aj inak (trosku jednoduchsou uvahou) ak by si poznal kombinacie a kombinacne cisla. Inak toto je podla mna jednoduchsie ako hladanie stvorcov.