Matematické Fórum

Ruby · 09. 11. 2012 18:21 — Editoval Ruby (09. 11. 2012 18:22)

Dobrý den, chtěl bych se zeptat na postup u tohoto příkladu:
Jsou dány body A[3-p;-3+2p;2] a B[-1;0;-1].Určete p є R tak, aby vzdálenost AB byla nejmenší.
Moc díky(prosím ne přes derivace,někde sem to tu našel ale to sme ještě neprobírali)

BakyX · 09. 11. 2012 18:31

Ahoj.

Najprv urč funkciu v premennej $p$ vyjadrujúcu tú vzdialenosť.

Jej minimum určíš ľahko, nakoľko bude kvadratická.

Ruby · 09. 11. 2012 18:33

To mi vychází záporný diskriminant :(

marnes · 09. 11. 2012 18:35 — Editoval marnes (09. 11. 2012 19:07)

↑ Ruby:
Zkusím:
Bod A má pevně danou z-ovou souřadnici, zbylé dvě jsou proměnné, tudíž bod A leží v rovině, která je rovnoběžná s osami x a y ( takže jakoby strop v bytě). Pak mám bod B (někde v bytě) a hledám nejkratší vzdálenost, což je kolmice vedená bodem B k rovině, ve které leží bod A. Pokud je tedy tato má úvaha správná, tak

1) napsat rovnici roviny rovnoběžné s osami x a y procházející bodem 0;0;2
2) bodem B vést kolmici k dané rovině
3) určit průsečík
4) určit p

Tato úvaha není OK:-(

Ruby · 09. 11. 2012 18:43

Jo, začínám tomu rozumět, tu rovnici jakš takš sestavím, nemohl/a bys mi to sem prosím taky napsat?:)

MightyPork

↑ Ruby:

Máme body $A[3-p; -3+2p; 2]$ a $B[-1; 0; -1]$
Vzdálenost dvou bodů v $E_{3}$ je: $d = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}$
dosadí-li se konkrétní hodnoty souřadnic, dostaneme
$d = \sqrt{(4-p)^2 + (-3+2p)^2 + 9}$
upraví se
$d = \sqrt{16-8p+p^2 + 9-12p+4p^2 + 9}$
dále
$d = \sqrt{5p^2-20p+34}$

nejmenší vzdálenost je, pokud je argument odmocniny nejmenší, tedy p ve vrcholu paraboly
$d(p) = 5p^2-20p+34$

tady je asi nejlepší to zderivovat :)
1. derivaci položím rovnu nule...
$10p-20=0$
$10p=20$
$p=2$

vzdálenost bude nejmenší pro $p=2$

samozřejmě pokud jsem tam neudělal chybu, což je velmi pravděpodobné ;)

nechceš-li derivovat, použij jiný způsob na určení vrcholu paraboly.

Edit: ověřil jsem ton graficky, je to správně.