Matematické Fórum

Sulfan · 09. 11. 2012 20:19

Ahoj,

řeším následující úlohu. Chtěl bych spočítat podíl $\frac{f^{(101)}(0)}{f^{(100)}(0)}$ sté plus první a sté derivace v bodě nula funkce $f(x)=\frac{2}{8x^3+4x^2+2x+1}$ .

Uvážil jsem, že bych měl zjistit Taylorův rozvoj v bodě 0 této funkce. Zkusil jsem rozložit na parciální zlomky a dostal jsem

$\frac{2}{8x^3+4x^2+2x+1}=\frac{1}{2x+1}+\frac{-2x+1}{4x^2+1}$

ale nevím, jak pokračovat, jelikož neumím rozložit do řady druhý člen. Poradíte, jak pokračovat?

Děkuji za odpověď.

Brano · 09. 11. 2012 21:40 — Editoval Brano (09. 11. 2012 23:57)

Iste poznas toto:
$\frac{1}{1-y}=1+y+y^2+y^3+...$
za $y$ teraz mozes dosadit $-2x$ a dostanes prvy clen, alebo $-4x^2$ a dostanes menovatel druheho clenu, ktory potom pokojne prenasob citatelom - $1-2x$ .

edit: oprava chyby v znamienku

Sulfan · 10. 11. 2012 10:48 — Editoval Sulfan (10. 11. 2012 11:02)

↑ Brano:

Díky, dostal jsem se k tomu, že
$\frac{2}{8x^3+4x^2+2x+1} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\cdot 2^n\cdot x^n+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}4^n\cdot x^{2n}+\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}\cdot 2^{2n+1}\cdot x^{2n+1}$

jak bych je teď mohl sloužit do jedné sumy?

Edit: Derivace součtu je součet derivací, takže by to bylo zbytečné, dělat z nich jednu řadu. Vyřešeno.

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2012 20:19

Stá derivace funkce

#2 09. 11. 2012 21:40 — Editoval Brano (09. 11. 2012 23:57)

Re: Stá derivace funkce

#3 10. 11. 2012 10:48 — Editoval Sulfan (10. 11. 2012 11:02)

Re: Stá derivace funkce

Zápatí