Matematické Fórum

Kotletka · 09. 11. 2012 16:40

Ahoj,

mám menší problémek se zjištětím, co jsou to zákony krácení u binárních operací. Když to zadám do googlu první odkaz je sem: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~bartlova … perace.pdf a právě tohle řeším, abych pocvičila. V dalších odkazech je to vysvětleno a já to chápu velmi ztěžka. Proto bych se chtěla zeptat, jestli by to tu někdo neuměl polopaticky přip. jestli byste mě mohli odkázat na nějaký polopatický popis.

Děkuji

jardofpr · 09. 11. 2012 19:56

ahoj ↑ Kotletka:

napr. v príkladoch v odkaze:

v príklade

1.a) je daná binárna operácia predpisom $a \circ b=3a+3b$ na množine $M=\mathbb{Z}$

zákon o krátení sprava hovorí $(a\circ c = b\circ c)\Rightarrow (a=b)$

ak má zákon o krátení sprava platiť na $M$ , musí pre ľubovoľné $a,b,c \in M$ platiť,

že ak sa rovnajú prvky $a\circ c$ a $b \circ c$ , musí platiť $a=b$

Nech sú teda $a,b,c$ ľubovoľné celé čísla, a nech platí $a\circ c=b\circ c$ .

Vzhľadom na to ako je operácia daná z tejto rovnosti vyplýva $3a+3c=3b+3c$
alebo teda $3a+3c-(3b+3c)=0$ .

Úprava ľavej strany:
$3a+3c-(3b+3c)=3a+3c-3b-3c=3a-3b=3(a-b)$ (v $\mathbb{Z}$ platia distributívne zákony)

teda dostaneš $3(a-b)=0$
z toho $a-b=0$ alebo teda $a=b$ .

Z rovnosti $a\circ c = b\circ c$ vyplýva teda $a=b$ pre ľubovoľné celé čísla $a,b,c$ , teda
platí zákon o krátení sprava. Krátenie zľava sa dá ukázať podobne.

V príklade 3 je daná binárna operácia $a\circ b=\max\{a,b\}$ na množine $M=\{ -6,-5,-4,-3,-2,-1 \}$

Keď si vezmeme napr. $a=-3,b=-2,c=-1$ ,

máme $a\circ c= (-3)\circ(-1)= \max\{-3,-1\}=-1=\max\{-2,-1\}=(-2)\circ (-1)=b\circ c$

ale zároveň $a \neq b$

teda platí $(a\circ c=b\circ c) \wedge a\neq b$ , čo je negácia tvrdenia v zákone o krátení sprava,
ten teda v tomto prípade neplatí .

Je to zrozumiteľné? Či ani nie?

Kotletka · 09. 11. 2012 22:10

Ano, moc děkuju:-) Když chci tedy vyšetřit jestli platí zákony krácení, tak vyzkouším i krácení zprava i zleva? Může se stát, že by jedno šlo a druhé ne?

jardofpr · 09. 11. 2012 22:42

↑ Kotletka:

za málo :)
vo všeobecnosti je zrejme potrebné vyskúšať oba,
pokiaľ sa jedná o nekomutatívnu operáciu

pri komutatívnej operácii stačí vyskúšať jeden

ak platí napr. $(a\circ c = b\circ c)\Rightarrow (a=b)$ a operácia $\circ$ je komutatívna,
potom máš hneď aj druhý:
z rovnosti $c \circ a= c \circ b$
vyplýva vďaka komutatívnosti
$a \circ c= b\circ c$ a z toho už vyplýva $a=b$

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2012 16:40

Zákony krácení u binárních operací

#2 09. 11. 2012 19:56

Re: Zákony krácení u binárních operací

#3 09. 11. 2012 22:10

Re: Zákony krácení u binárních operací

#4 09. 11. 2012 22:42

Re: Zákony krácení u binárních operací

Zápatí