Matematické Fórum

jdb · 09. 11. 2012 22:11

Prosím o vysvětlení této úvahy:

Jestliže platí
$\lim_{x \to +\infty} $f(x) - kx - q$ = 0$ (1)
pak platí také:
$\lim_{x \to +\infty} \frac {f(x) - kx - q}{x} = 0$ (2)

(pak následuje další postup, který už chápu.)

Ta implikace platí přece jen jedním směrem, ne? Když vypočtu 'k' z rovnice (2), jakto, že bude platit i pro rovnici (1)?

Co když nastane situace, že limita (1) je nějaká nenulová konstanta pro každé x, takže f(x) a přímka kx + q by byly zřejmě rovnoběžky. Pak ale vyjde, že limita (2), kde podělím ten konstantní výraz 'x', které běží do nekonečna, je rovna nule, což ale neodpovídá výsledku ve výrazu (1).

Děkuji.

o.neill · 09. 11. 2012 22:23

No však to tvrzení mluví pouze o implikaci zleva doprava. Výraz „Jestliže platí A, pak platí B.“ znamená „A=>B“

jdb · 09. 11. 2012 22:34

o.neill:

No jasně, ale já se ptám na to, proč se tam zároveň tvrdí B=>A ?

jelena · 11. 11. 2012 00:44

↑ jdb:

Zdravím,

pokud ještě aktuální, napiš (umístí náhled), prosím, na celý text, který diskutuješ. Není jasné, kde je "tam" ("proč se tam zároveň tvrdí B=>A" ?) Děkuji.

jdb · 11. 11. 2012 23:40

"Tam" jsem myslel ty dvě rovnice v mém prvním příspěvku, a šlo mi o to, že když vypočítám něco podle vztahu (2), tak to nemusí platit pro vztah (1), ačkoliv z (1) => (2) to platí.

A právě ten způsob výpočtu směrnice asymptoty se tak (podle mě) chová - vypočítám směrnici podle vztahu (2), a má to platit i pro vztah (1), ačkoliv tyto vztahy nejsou ekvivalentní.

Budu vděčný za objasnění.

jelena · 12. 11. 2012 10:14

↑ jdb:

děkuji, zřejmě máš na mysli důkaz spojený s definic asymptot - něco takového?

Dokonce váhám, zda platí tvá rovnice (2). Tak snad někdo z odborných kolegů doplní. Děkuji.

jelena · 12. 11. 2012 10:17

Neváhám :-) Vážený kolega vysvětloval.

jdb · 12. 11. 2012 13:32

Ano, myslel jsem přesně ten důkaz, který je v prvním i druhém odkazu. Z toho druhého jsem myslím dokonce zkopíroval ty rovnice sem do svého prvního příspěvku. Ale mně nejde o ten důkaz, ale o aplikaci, která je podle mě v nesouladu s tím, co se tvrdí.

Takže ještě jednou:
Dokázali jsme "A=>B" - OK, chápu.
Vypočítáme něco ze vztahu "B" a z toho vyvozujeme, že to platí i pro "A" - tohle nechápu.

Když něco vypočítám ze vztahu "B", tak to přece nemusí platit vždycky i v "A".

jelena · 12. 11. 2012 23:28

↑ jdb:

Poprosila jsem autora příspěvku, aby se na Tvé téma ještě podíval, až bude mít čas.

Já rozumím tak:

kolega Rumburak napsal(a):
Při hledání asymptoty v $+\infty$ ke grafu funkce $f$ vlastně hledáme čísla $k, q$ tak, aby

(1) $\lim_{x \to +\infty} $f(x) - kx - q$ = 0$ .

Platí-li (1)...

tedy v dalším postupu najdeme čísla k, pro která (1) platí. Tobě se zdá, že se to točí do kruhu. Mně se to jeví srovnatelné s řešením rovnic. Při řešení rovnic hledáme kořen, pro který je rovnice platná. tedy předpokládáme, že platí výchozí rovnice + prováděné ekvivalentní (nebo z vymezení podmínek i neekvivalentní) úpravy. Na závěr mám kořen, pro který je rovnice platná.

Věřím, že se dočkáš více odborného vysvětlení od kolegy Rumburaka, možná i dalších kolegů. Kolegům děkuji.

Rumburak

↑ jdb:

Vztahem

(1) $\lim_{x \to +\infty} $f(x) - kx - q$ = 0$

je vyjádřeno, že křivky o rovnicích $y = f(x)$ , $y = kx + q$ se pro $x \to +\infty$ neomezeně přibližují, což je v souladu
s představou, že druhá křívka (přesněji: přímka) je asymptotou křivky první. Jinými slovy: obsah tvrzení, že

(A) přímka o rovnici $y = kx + q$ je pro $x \to +\infty$ asymptotou křívky o rovnici $y = f(x)$ ,

je teprve vztahem (1) korektně definován.

Uvážííme-li, že triviálně také $\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}= 0$ , získáváme z (1)

(2) $\lim_{x \to +\infty} \frac {f(x) - kx - q}{x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x} \cdot \lim_{x \to +\infty} $f(x) - kx - q$ = 0 \cdot 0 = 0$

atd.

V obecném případě implikace $(1) \Rightarrow (2)$ skutečně platí pouze tímto směrem, platnost tvrzení (1) je však dána předpokladem (A).
Kdyby tento předpoklad nebyl splněn pro žádnou dvojici $k, q$ , znamenalo by to, že křívka $y = f(x)$ pro $x \to +\infty$
asymptotu nemá a další kroky výpočtu by postrádaly smysl.
Takže směrnici $k$ asymptoty sice počítáme ze vztahu (2), ale pouze za předpokladu, že platí (1) (a pak můžeme vypočítat i $q$ ) .

Je tam ještě nějaká nejasnost ? Myslím, že i z předchozího příspěvku kolegyně Jeleny (posílám pozdrav) bylo možné situaci lépe pochopit.

jelena · 13. 11. 2012 10:50

↑ Rumburak:

děkuji velice a také pozdrav :-)

jdb · 13. 11. 2012 22:42

↑ Rumburak:

Myslím, že už rozumím. Kdybych měl teď ve světle Vašeho příspěvku vyjádřit, co mi nebylo jasné, tak je to právě tahle věc v tom vztahu (2):

$0.0 = 0$ , ale tenhle výraz je splněn vždy, protože ta první limita 1/x je nula vždycky, takže $0.x = 0$ , kde ta druhá limita=x může být klidně nenulová. Až z toho, že explicitně víme, že nenulová není, tak to dává smysl.

Snad to tak chápu dobře. Připadá mi to celkem zvláštní, nevím k čemu bych to přirovnal - jako by se tu uměle vyrobila určitá redundance, která pomůže k výpočtu. Není to nějak tak?

Velmi děkuji za obšírné vysvětlení.

Rumburak

↑ jdb:
Ještě doplním důležitou věc, která mne napadla až později. Máme-li již zjištěnu směrnici $k$ naší potenciální asymptoty,
pak člen $q$ počítáme ze vzorce

(3) $q = \lim_{x \to +\infty} $f(x) - kx$$ ,

který je ekvivalentní se vztahem (1) . V případě, že by vzah (1) neplatil, pak by neexistovala ani vlastní limita v (3).
Pokud tedy při výpočtu směrnice $k$ je nám dovoleno na předpoklad (1) zapomenout, pak při výpočtu $q$ se k němu vracíme.

PŘÍKLAD: $f(x) := x + \ln x$ . Potom

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1$ ,
ale
$q = \lim_{x \to +\infty} $f(x) - kx$ = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ ,

což znamená, že hledaná asymptota neexiatuje.

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2012 22:11

Výpočet směrnice asymptoty funkce

#2 09. 11. 2012 22:23

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#3 09. 11. 2012 22:34

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#4 11. 11. 2012 00:44

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#5 11. 11. 2012 23:40

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#6 12. 11. 2012 10:14

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#7 12. 11. 2012 10:17

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#8 12. 11. 2012 13:32

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#9 12. 11. 2012 23:28

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

kolega Rumburak napsal(a):

#10 13. 11. 2012 09:38 — Editoval Rumburak (13. 11. 2012 09:52)

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#11 13. 11. 2012 10:50

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#12 13. 11. 2012 22:42

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

#13 14. 11. 2012 09:35 — Editoval Rumburak (14. 11. 2012 10:18)

Re: Výpočet směrnice asymptoty funkce

Zápatí