Matematické Fórum

barca33 · 10. 11. 2012 13:38

Dobrý den potřebovala bych pomoci s příkladem : Napište parametrické vyjádření všech těžnic trojúhelníka s vrcholy A= -2,-1 B= 3,0 C= 2,4 . nevím jak na to za případný postup a vysvětlení budu moc ráda. Předem děkuji

MightyPork · 10. 11. 2012 13:43

↑ barca33:

Pokud je tím myšleno parametrické vyjádření přímek, na kterých těžnice leží, neměl by to být problém.
Uděláš-li aritmetický průměr souřadnic vrcholů, dostaneš těžiště.
Aritmetický průměr souřadnic dvou sousedních vrcholů ti dá střed té úsečky.

Teď už máš dva body, z těch si sestavíš směrový vektor a zapíšeš parametricky tu přímku.
pro další 2 opřímky je to podobné.

barca33 · 10. 11. 2012 13:48

↑ MightyPork:
mohu se jenom zeptat normální aritmetický průměr ? nebo mám použít vzorec pro těžíště t1=1/3 ( a1+b1+c1)

MightyPork

↑ barca33:

pokud jsou vrcholy
$A[a_1,a_2,a_3]$
$B[b_1,b_2,b_3]$
$C[c_1,c_2,c_3]$

pak těžiště bude
$T[\frac{a_1+b_1+c_1}{3};\frac{a_2+b_2+c_2}{3};\frac{a_3+b_3+c_3}{3}]$

a ty středy

$S_{AB} = [\frac{a_1+b_1}{2};\frac{a_2+b_2}{2};\frac{a_3+b_3}{2}]$
$S_{BC} = [\frac{b_1+c_1}{2};\frac{b_2+c_2}{2};\frac{b_3+c_3}{2}]$
$S_{CA} = [\frac{c_1+a_1}{2};\frac{c_2+a_2}{2};\frac{c_3+a_3}{2}]$

pak spočítáš směrový vektor přímky, třeba $\overrightarrow{S_{S_{AB}}T}$

a pak sestavíš parametrické vyjádření přímky

barca33 · 10. 11. 2012 15:18

↑ MightyPork:
děkuji těžiště mi vYšlo , ale nepochopila jsem ten krok s těmi středy.

MightyPork · 10. 11. 2012 15:19

↑ barca33: doplnil jsem předchozí příspěvek, snad jsem to dobře vysvětlil :)

barca33 · 10. 11. 2012 15:25

↑ MightyPork:
dobře děkuji pokusím se to vypičítat uvidím jestli se shoduji i s výsledky

barca33 · 10. 11. 2012 15:38

↑ barca33:↑ MightyPork:
tak mi to bohužel nevyšlo s výsledky tak nevím , kde dělám chybu

MightyPork

↑ barca33:
Tohle je co mi zatím vyšlo...

$T=[1;\frac{5}{3}]$

$S_{AB}=[\frac{1}{2};\frac{1}{1}]$
$S_{BC}=[\frac{5}{2};2]$
$S_{CA}=[0;\frac{5}{2}]$

vektory vyjdou docela ošklivě, je tam plno mínusů a zlomků - ale je to vektor směrový, může se tedy vynásobit jakýmkoliv skalárem a význam se nezmění.

Po úpravách:
$\overrightarrow{S_{AB}T}=(3;7)$
$\overrightarrow{S_{BC}T}=(9;2)$
$\overrightarrow{S_{CA}T}=(6;-5)$

použije-li se v parametrickém vyjádření bod T, vyjde (doufám):

$t_a: x = 1 + 9t; y=\frac{5}{3}+2t; t \in R$
$t_b: x = 1 + 6t; y=\frac{5}{3}-5t; t \in R$
$t_c: x = 1 + 3t; y=\frac{5}{3}+7t; t \in R$