Matematické Fórum

niko9 · 11. 11. 2012 21:59

ahoj prosím o radu s tímto příkladem..

$\lim_{x\to1}(x^{x}-1)tg\frac{\pi x}{2}=\lim_{x\to1}\frac{x^{x}-1}{cotg\frac{\pi x}{2}} \Rightarrow L'H\Rightarrow \lim_{x\to1} \frac{e^{xlnx}}{\frac{1}{-sin{\frac{\pi x}{2}}}\cdot 1}$ dál jsem se už nedostal

výsledek by měl být $-\frac{2}{\pi }$

xfastx · 11. 11. 2012 22:22

Zdravím, máte pouze chybu v postupu $x^{x}$ si nejprve přepište jako $e^{x\cdot lnx}$ a teprve potom použijte L'H. Tedy $\lim_{x\to1}\frac{e^{x\cdot lnx}-1}{cotg \frac{\pi x}{2}}=\lim_{x\to1}\frac{e^{x\cdot lnx}(ln(x)+1)}{\frac{\pi }{2}(\frac{-1}{sin^{2}\frac{\pi x}{2}})}$

Arabela · 11. 11. 2012 22:23

Ahoj ↑ niko9:,
prvá úprava bola dobrá a viedla k použitiu L'Hospitalovho pravidla, čo by bolo tiež v poriadku.
Ale tie derivácie čitateľa a menovateľa nemáš dobre.
Najskôr derivácia $x^{x}$ . Keď si zapíšeme $x$ v tvare $x=e^{ln x}$ , dostávame $x^{x}=(e^{ln x})^{x}=e^{x.ln x}$ . Potom platí
$(x^{x})'=(e^{x.ln x})'=e^{x.ln x}(ln x+x.\frac{1}{x})=x^{x}(ln x+1)$ . Použili sme vetu o derivovaní zloženej funkcie.
V menovateli máš dve chyby; predovšetkým Ti chýba druhá mocnina sínusu a potom vynásobenie pí/2 (ide opäť o zloženú funkciu). TaKže ten menovateľ po zderivovaní bude mať tvar $-\frac{1}{\sin ^{2}\frac{\pi }{2}.x}.\frac{\pi }{2}$ .
Teraz by to už po dosadení jednej do čitateľa aj menovateľa malo vyjsť.

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2012 21:59

derivace

#2 11. 11. 2012 22:22

Re: derivace

#3 11. 11. 2012 22:23

Re: derivace

Zápatí