Matematické Fórum

Kája2 · 11. 11. 2012 18:45 — Editoval Kája2 (11. 11. 2012 20:48)

Ahoj, mohl by mi někdo jen stručně vysvětlit,jak si tyto vektory představit?(graficky či slovně?)
a) Všechny vektory, jejichž konce leží na dané přímce procházející počátkem.
b) Všechny vektory, jejichž konce leží v prvním kvadrantu.
c) Všechny vektory, jejichž konce leží v prvním nebo třetím kvadrantu.
Budu vděčný za každou radu.

Rumburak

Ahoj.

A jak jste si definovali "konec vektoru" ? :-) Úloha je - striktně vzato - chybně formulována, vektor sám o sobě
(alespoň v matematice) nemá žádný "začátek" ani "konec".

Ale lze hovořit o umístění vektoru $\vec{u}$ v bodě $A$ , což je orientovaná úsečka (de facto uspořádaná dvojice) $(A, A+\vec{u})$
s počátečním bodem $A$ a koncovým bodem $A+\vec{u}$ .

V té úloze si slovo "vektor" oprav na "orietovanou úsečku, jejímž počátečním bodem je počátek soustavy souřadnic".

Kája2 · 12. 11. 2012 10:38

↑ Rumburak:
Bylo tam zadáno, že v rovině je pevně zvolená kartézská soustava souřadnic a předpokládáme, že počátek každého vektoru je umístěn v počátku této soustavy.
Definice vektorového prostoru mi problém nedělé, jen si právě nějak nedokážu geometricky představit ty vektory, abych mohl jednotlivé axiomy použit.

Rumburak

↑ Kája2:
Tato úloha není úlohou na vektorový prostor jakožto matematickou strukturu, ale na geometrickou interpretaci rovinných vektorů
jakožto orientovaných úseček majících za společný počáteční bod počátek $P$ soustavy souřadnic (tak, jak jsi to uvedl v tom doplňku
k zadání). Takto interpretovaný vektor $\vec{a}$ je tedy jednoznačně určen buďto odpovídající orientovanou úsečkou $\vec{PA}$ , případně
pouze jejím koncovým bodem $A=[x_A,\,y_A]$ , píšeme pak $\vec{a}=(x_A,\, y_A)$ . Ta úloha se tedy de facto ptá na body $A$
daných vlastností.

Kája2 · 12. 11. 2012 16:26

↑ Rumburak:
Aha,takže vlastně v případě a.ú mám všechny orientované úsečky, které mají počáteční bod počátek soustavy souřadnic,že?Takže ta přímka může procházet i kterýmkoliv kvadrantem?u b.ú leží vektory(orientované úsečky) pouze v prvním kvadrantu.Ale pak mi nedochází, proč nejsou vektorvým prostorem.Mohl by mi ještě někdo tuto otázku trochu pomoci rozřešit?

Rumburak · 12. 11. 2012 17:28

↑ Kája2:

Jsou to tři oddělené úlohy:

V případe a) máme danou přímku $p$ procházející počátkem (obecně tedy přímku o rovnici $ax+by = 0$ ) .
"Koncovým bodem" vektoru $\vec{u} = (u, v)$ je bod $U = [u, v]$ , který bude ležet na přímce $p$ , právě když
bude splněna rovnice $au+bv = 0$ .
Množina všech takových vektorů je vektorovým prostorem (dokáže se buďto ověřením axiomů V.P. nebo podle
věty o tom, kdy je podmnožina vekt. prostoru jeho podprostorem).

Množna z případu b) není podprostorem, protože např. vektor (1, 1) leží v I. kvadrantu, ale k němu opačný
vektor (-1, -1) = - (1, 1) už ne .

Atd.

Je to velmi jednoduché.