Matematické Fórum

dobes.pavel · 09. 11. 2012 12:43

Mám zadáno vypočti objem tělesa ohraničeného plochami:
$z=cosx\cdot cosy$
$x+y=\pi /2$
v 1. oktantu

Sestavím si integrál a počítám, až dojdu k poslední integraci:
$\int_{0}^{\pi /2}cosx\cdot sin(x-\pi /2)$

A teď nevím, jak provést integraci podle x

Když jsem to zadal to wolphramalpha, tak mi vyšlo záporné číslo, což je u objemu blbost, takže mě to ještě víc zmátlo, tudíž prosím o radu
Odkaz na wolpramalpha:

Code:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate_0^%28pi%2F2%29+integrate_0^%28x-pi%2F2%29+cosx*cosy+dy+dx

Díky za odpovědi

Rumburak · 09. 11. 2012 16:59

Možností je více, například dvakrát za sebou proveď per partes (ve stejném směru) a dojdeš k rovnici,
v níž neznámou bude ten integrál.

dobes.pavel · 10. 11. 2012 20:56

Po použití dvakrát per partes si moc nepomůžu, protože výjde:
$\int_{0}^{\pi /2} cosx\cdot sin(x-\pi /2)=sinx\cdot sin(x-\pi /2)-sinx\cdot sin(x-\pi /2)+\int_{0}^{\pi /2} cosx\cdot sin(x-\pi /2)$

Takže se to odečte a výjde akorát 0=0

Osobně mě jen napadá, vyjádřit ten sinus jako cosinus, protože je o $\pi /2$ posunutý
Jak ostatně to udělal i wolphramalpha, jenom nevím jesltli je to korektní úprava a ještě furt mi nejde do hlavy znaménko mínus u objemu

Rumburak

Nojo, máš opravdu ...

Tak zkus použít $\sin(x-\pi /2) = -\cos x , \cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ .

Záporný objem samozřejmě znamená chybu ve výpočtu. Abychom ji našli, musel bys sem dát podrobný postup.

dobes.pavel · 12. 11. 2012 16:06

Už jsem tu chybu našel, měl bych dojít k tomuto (jiný argument u sinus): $\int_{0}^{\pi /2}cosx\cdot sin(\pi /2-x)$
Takže pak mi vyjde, teda pokud to správně chápu, tohle:
$\int_{0}^{\pi /2}cos^{2}x$

Je tohle už správně?

Rumburak · 12. 11. 2012 17:34

↑ dobes.pavel:
Ano, oba integrandy (a tedy vzhledem k stejným mezím i integrály) se rovnají.

Matematické Fórum

#1 09. 11. 2012 12:43

Trojný integrál - výpočet objemu

Code:

#2 09. 11. 2012 16:59

Re: Trojný integrál - výpočet objemu

#3 10. 11. 2012 20:56

Re: Trojný integrál - výpočet objemu

#4 12. 11. 2012 09:54 — Editoval Rumburak (12. 11. 2012 09:59)

Re: Trojný integrál - výpočet objemu

#5 12. 11. 2012 16:06

Re: Trojný integrál - výpočet objemu

#6 12. 11. 2012 17:34

Re: Trojný integrál - výpočet objemu

Zápatí