Matematické Fórum

Kája2 · 07. 11. 2012 10:10 — Editoval Kája2 (07. 11. 2012 13:57)

Ahoj,mohl by jen někdo, prosím, říct, zda říkám pravdu?
Mám dány takto axiomy:
1. $\forall a,b,c\in T: (a+b)+c= a +(b+c)$
2. $\forall a,b\in T : a+b=b+a$
3. $\exists o\in T \forall a\in T : a+0=a$
4. $\forall a\in T\exists (-a)\in T : a +(-a) = 0$
5. $\forall a,b,c\in T : a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
6. $\forall a,b\in T: a\cdot b = b\cdot a$
7. $\exists 1\in T\forall a\in T : a\cdot 1=1\cdot a=a$
8. $\forall a\in T\exists a^{-1}\in T:a\cdot a^{-1}=1$
8* $\forall a,b\in T: a\not =0 \wedge b\not =0\Rightarrow a\cdot b\not =0$
9. $\forall a,b,c\in T:(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
A definuji algebraické struktury takto:
-platí-li 1-9 (včetně 8*) jde o Komutatativní těleso
-platíli 1-5,7-9 (včetně 8*) jde o Nekomutativní těleso
-platí-li 1-7,8* a 9 pak jde o Obor integrity
-platí-li 1-7,9 jde Komutativní okruh s jednotkovým prvkem
-platí-li 1-6,9 jde o Komutativní okruh a platí-li 1-5,9 tak jde o Okruh.
Je to tak?Nebo v komutativním okruzích platí i 8*?Děkuji

Kotletka · 12. 11. 2012 17:08

Jo, mohl by mu prosím někdo říct, zda říká pravdu? :-D

Kotletka · 12. 11. 2012 18:38

Tak já zkusím napsat svůj názor, že v komutativních okruzích nemusí platit 8*. Je to jen můj názor, ale přemýšlela jsem nad tím;-) Nepíšeš náhodou zítra lingebru s Bártlovou?

Andrejka3

↑ Kotletka:
edit: Týká se komutativního tělesa:
U těch axiomů je tento problém:
8 $\forall a\in T\exists a^{-1}\in T:a\cdot a^{-1}=1$
Má tam ovšem být $\forall a\in T\setminus \{0\}$ , napriklad teleso realnych cisel zname. Nula nemá inverzní prvek.
Mělo by tam být zmíněno, že $0 \neq 1$ , jinak by i jednoprvková množina mohla být nosičem tělesa.
Podmínka 8* pak nutná není, protože: je-li $a,b \neq 0$ , pak
$aba^{-1}b^{-1}=1$ , tedy $ab \neq 0$ . Totiz je $0x+x=(0+1)x=1x=x$ , tedy je $0x=0 \neq 1$ , pro libovolne $x \in T$ .

Jinak, doporučuji se neučit ty věci nazpaměť najednou, protože to nemá moc smysl, dokud se neprobírá něco z toho podrobněji.

Prosím kolegy, aby případně opravili chyby nebo nepřesnosti.
Díky,
A

Andrejka3 · 12. 11. 2012 20:23

↑ Andrejka3:
Ještě oprava k podmínce $1 \neq 0$ :
Ta je nutná, abychom nepřipustili jednoprvková tělesa.
Je-li nosná množina aspoň dvouprvková, pak $T\setminus \{0\} \neq \emptyset$ , volme tedy nenulove $x \in T$ .
Pak $x1=x \neq 0=x0$ , tedy $1\neq 0$ .

Matematické Fórum

#1 07. 11. 2012 10:10 — Editoval Kája2 (07. 11. 2012 13:57)

Algebraické struktury

#2 12. 11. 2012 17:08

Re: Algebraické struktury

#3 12. 11. 2012 18:38

Re: Algebraické struktury

#4 12. 11. 2012 18:51 — Editoval Andrejka3 (12. 11. 2012 18:56)

Re: Algebraické struktury

#5 12. 11. 2012 20:23

Re: Algebraické struktury

Zápatí