Matematické Fórum

kreonis20 · 13. 11. 2012 14:03

Dobrý de, mohl by mi někdo,prosím, trochu řící, zda u tohoto příkladu postupuji správně?
Mám rozhodnout, zda množina všech nekonečných posloupností $(a_{1},a_{2},....)$ reálných čísel, pro které platí : $a_{k}=a_{k-1}+a_{k-2},k=3,4...$ tvoří vektorový prostor.
Do prvního axióomy bych doplnil toto:
$\forall a_{1},a_{2},a_{3}\in a_{n}: a_{1}+(a_{2}+a_{3})=(a_{1}+a_{2})+a_{3}$ .Stačí to takto a pak mohu počítat podle předpisu pro $a_{k}$ nebo bych měl postupovat jinak.
Budu vděčný za každou radu či návrh.

Andrejka3

↑ kreonis20:
Dobrý den.
Obvykle se sčítání posloupností definuje po složkách a násobení rovněž, například,
$(1,2,3,\dots)+(1,1,1,\dots)=(2,3,4,\dots)$ ,
$2\cdot (1,2,3,\dots) = (2,4,6,\dots)$ .
Návrh: Je třeba v první řadě dokázat uzavřenost těchto dvou operací na Tvoje typy posloupností.

Není třeba ověřovat komutativitu sčítání, ani asociativitu, protože to znamená pouze v každé složce ověřit asociativitu, či komutativitu na tělese $\mathbb{R}$ . Je to tím, že rovnost posloupností se definuje opět po složkách.

Návrh 2: Nepočítal jsi náhodou předtím příklad podobný -- totiž, že množina všech nekonečných posloupností reálných čísel je vektorovým prostorem? Pak by tento příklad byl příklad na podprostor...

Kromě toho, není mi jasné, co myslíš zápisem
$\color{red}\forall a_{1},a_{2},a_{3}\in a_{n}\color{black}: a_{1}+(a_{2}+a_{3})=(a_{1}+a_{2})+a_{3}$

kreonis20

↑ Andrejka3:
Takže asociativitu,ani komutativitu tedy ověřovat nemusím?Ovšem ,kdybych chtěl, tak bych to musel vzít tedy na ty složky?

Andrejka3

↑ kreonis20:
Nemusíš ji ověřovat = je to triviální (odůvodnila jsem). Tak když napíšu matematicky, to co jsem psala slovy v předchozím příspěvku,
Označme $P$ množinu všech posloupností, které splňují zadání.
Pak pro $a,b,c \in P$ platí
$(a+b)+c=a+(b+c) \iff \forall n \in \mathbb{N}:\; (a_n+b_n)+c_n=a_n+(b_n+c_n)$ protože tak je definovaná rovnost.
Toto ale platí, protože sčítání v $\mathbb{R}$ je asociativní.

Ovšem měl jsi ověřit, že $a,b \in P \Rightarrow a+b \in P$ a $a \in P,\: \alpha \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha \cdot a \in P$ .

kreonis20 · 13. 11. 2012 14:43

↑ Andrejka3:
Super, děkuju.Už je mi to jasné.Akorát, že mám dokazovat, že toto je vektorový prostor a ne podprostor, takže bych dokázal i další axiomy.

Andrejka3

↑ kreonis20:
Já zase nerozumím Tvým reakcím.
Vždycky v nich něco chybí. V předchozí zprávě rozumím jen poděkování a tomu, že Ti to je jasné.

kreonis20 · 13. 11. 2012 14:48

↑ Andrejka3:
Jo, jako, že jsem Ti poděkoval a jen, že jak jsi si napsala, že je tento příklad na podprostor, tak ono v zadání bylo určit, zda jde o vektorový prostor.

Andrejka3 · 13. 11. 2012 14:52

↑ kreonis20:
Každý vektorový podprostor vektorového prostoru je i vektorovým prostorem.
V zadání máš určit, zda $P$ je vektorový prostor. To můžeš buď tak, že ověříš všechny axiomy, nebo tak, že ověříš, že je podprostorem nějakého vektorového prostoru.
Jestli Ti to je jasné, tak je to v pořádku a přeji příjemný den.

kreonis20 · 13. 11. 2012 14:53

↑ Andrejka3:
Ano, už vše.Tak ještě jednou děkuju ;-)

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2012 14:03

Nekonečná posloupnost-prostor

#2 13. 11. 2012 14:22 — Editoval Andrejka3 (13. 11. 2012 14:23)

Re: Nekonečná posloupnost-prostor

#3 13. 11. 2012 14:28 — Editoval kreonis20 (13. 11. 2012 14:29)

Re: Nekonečná posloupnost-prostor

#4 13. 11. 2012 14:36 — Editoval Andrejka3 (13. 11. 2012 14:37)

Re: Nekonečná posloupnost-prostor

#5 13. 11. 2012 14:43

Re: Nekonečná posloupnost-prostor

#6 13. 11. 2012 14:45 — Editoval Andrejka3 (13. 11. 2012 14:45)

Re: Nekonečná posloupnost-prostor

#7 13. 11. 2012 14:48

Re: Nekonečná posloupnost-prostor

#8 13. 11. 2012 14:52

Re: Nekonečná posloupnost-prostor

#9 13. 11. 2012 14:53

Re: Nekonečná posloupnost-prostor

Zápatí