Matematické Fórum

bonifac · 27. 11. 2008 21:50

Ahoj, může mi prosím někdo poradit s těmito příklady?

$y=x+cosx$ Podle výsledků má vyjít, že roste v intervalu $({-\infty};{\infty})$ , ale vůbec nechápu proč.

$y=sinx+cosx$ No a s tímto příkladem si nevím vůbec rady.

Předem díky moc za pomoc.

lukaszh · 27. 11. 2008 22:16

Tá druhá úprava sa urobí "sofistikovanou" úpravou:

$y=\sin x+\cos x=\frac{2}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)=\frac{2}{\sqrt{2}}$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x$=\frac{2}{\sqrt{2}}$\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\sin\frac{\pi}{4}\cos x$=\frac{2}{\sqrt{2}}\sin$x+\frac{\pi}{4}$$

Teraz by už nemal byť problém, zistiť intervaly.

Saturday · 27. 11. 2008 22:28

↑ lukaszh: Ta rovnost vypadá opravdu pěkně, to tě napadlo, nebo jsi ji někde viděl?

lukaszh · 27. 11. 2008 22:45

↑ Saturday:
Túto úpravu som sa naučil na matfyze, keď sa kreslia grafy funkcii. Tak sa to upraví na taký tvar, aby to bolo "nakresliteľné", aspoň približne.

bonifac · 28. 11. 2008 20:14

↑ lukaszh: Diky moc za pomoc.

bonifac · 28. 11. 2008 20:15

A neví někdo proč u té první vyjde interval rostoucí $({-\infty};{\infty})$

Pavel Brožek

↑ bonifac:

Protože derivace je $1-\sin x$ a je tedy všude nezáporná.

Saturday · 28. 11. 2008 22:42

↑ BrozekP: A jak se poperu s tím, že derivace je nezáporná, tudíž funkce je nerostoucí, ovšem, když se podívám na graf funkce, tak je pouze rostoucí.

Pavel Brožek

↑ Saturday:

Derivace je nulová pouze v osamocených bodech - označme jeden takový $x_0$ . Vezměme si libovolný bod $x_1<x_0$ . Jistě exisuje levé okolí bodu $x_0$ , kde je $f'(x)>0$ a tedy

$f(x_1)<f(x_0)$ .

Analogicky ukážeme vztah $f(x_2)>f(x_0)$ pro $x_2>x_0$ . Funkce je tedy rostoucí i v bodě $x_0$ .