Matematické Fórum

miluska535 · 13. 11. 2012 18:18

Dostala jsem příklad:
Množína všech řešení níže uvedené soustavy je podprostor H. Najděte jednu možnou bázi podprostoru H nebo napište "báze neexistuje"

$x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4 + 3x_5 + x_6 = 0$
$2x_1 + 8x_2 + 2x_3 - 2x_4 + 6x_5 + 2x_6 = 0$
$x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4 + 3x_5 + x_6 = 0$

Jde vypočítat báze, když h(A) = 1, tudíž nemám soustavu rovnic, ale jen jednu rovnici?
Předem děkuji za všechny návrhy a odpovědi.

jardofpr · 14. 11. 2012 03:07

↑ miluska535:

miluska535 napsal(a):
Jde vypočítat báze, když h(A) = 1, tudíž nemám soustavu rovnic, ale jen jednu rovnici?

áno, ide to vypočítať, môžeš sa na to pozrieť tak,
že len jedna z premenných $x_i$ bude závislá na ostatných premenných,
takže bude päť voliteľných parametrov

miluska535 · 14. 11. 2012 20:31

↑ jardofpr:
Dobrá, tak jsem začala. Tedy:
$\overrightarrow{x} = (1-4a-b+c-d-e, a, b, c, d, e) = (1,0,0,0,0,0) + a * (-4,1,0,0,0,0) + b * (-1,0,1,0,0,0) + c * (1,0,0,1,0,0) + d * (-3,0,0,0,1,0) + e * (-1,0,0,0,0,1)$

Pak například:
$\overrightarrow{b_1} = (?,1,0,0,0,0)$
Ale v tom případě mi zase vyjde, že:
$\overrightarrow{b_1} \Rightarrow x_{1} + 4x_{2} = 1$
$Tedy: x_{1} = 1 - 4x_{2}$

Nebo opět dělám něco špatně?

jardofpr

↑ miluska535:

ahoj, skús svoj príspevok trocha upraviť ,
prvý riadok očividne nevliezol celý do okna

predpokladám, že si vyjadrila $x_1$ z rovnice ako
$x_1=-4x_2-x_3+x_4-3x_5-x_6$

moja otázka je, kde sa v tomto vyjadrení vektora z podpriestoru H

$\overrightarrow{x} = (1-4a-b+c-d-e, a, b, c, d, e) = (1,0,0,0,0,0) + a * (-4,1,0,0,0,0) + b * (-1,0,1,0,0,0) +$
$+c * (1,0,0,1,0,0) + d * (-3,0,0,0,1,0) + e * (-1,0,0,0,0,1)$

vzal bod $(1,0,0,0,0,0)$ , ide predsa o homogénny systém,
to treba dať do poriadku

(ešte , v prvej súradnici tam kde je súčet násobkov parametrov pri vyjadrení $x$ má byť $-3d$ , nie $-d$ )

miluska535 · 14. 11. 2012 21:03

Takhle je to správně po dosazení parametrů a, b, c, d, e za
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$
$x_{1}$ je závislá proměnná

$\overrightarrow{x} = (-4a-b+c-d-e, a, b, c, d, e) = a * (-4,1,0,0,0,0) +$
$+ b * (-1,0,1,0,0,0) + c * (1,0,0,1,0,0) + d * (-3,0,0,0,1,0) + e * (-1,0,0,0,0,1)$

jardofpr

↑ miluska535:

tá prvá rovnosť má byť tiež bez jednotky a s trojkou pred d-čkom
$\overrightarrow{x}=(-4a-b+c-3d-e,a,b,c,d,e)$

tým pádom si našla vyjadrenie ľubovoľného vektora $x$ z podpriestoru H v tvare
lineárnej kombinácie lineárne nezávislých vektorov z H

vanok · 14. 11. 2012 21:06 — Editoval vanok (14. 11. 2012 21:19)

Ahoj ↑ miluska535:,
na prvy pohlad, tvoj vysledok nemoze byt dobry.... staci urobit skusku riesenia ...

Tak poporiadku.
Tvoj system je equivalentny z jedinou rovnicou... ( to si ukazala vdaka tomu, ako spravne pises $h(A)=1$ )
cize mozes miesto neho pisat
$x_1 + 4x_2 + x_3 - x_4 + 3x_5 + x_6 = 0$
Jedna homogenna inearna rovnica a 6 neznamych to znamena, ze ak urcis 5 neznamych ( vo forme parametrov) a dostanes 6tu.

Tak vyberme, napriklad
$x_6=e$
$x_5=d$
$x_4=c$
$x_3=b$
a
$x_2=a$ .... a, b, ..., e su parametre (cize lubovolne realne cisla)
Pre kazdy vybar parametrov, dostaneme

$x_1=-4a-b +c -3d-e$ poslednych 6 rovnic popisuje parametricky riesenie danej rovnice.

To znamena, ze vo vektorovej forme, nejake riesenie v sa pise
$v=(-4a-b +c -3d-e,a,b,c,d,e)$
a to sa da napisat aj takto

$v= a(-4,1,0,0,0,0)+b(-1,0,1,0,0,0)+c(1,0,0, 1,0,0)+$
$d(-3,0,0,0,1,0)+e(-1,0,0,0,0,1)$

Tak ti ostava overit, ze 5 vektorov vyssie tvoria bazu priestoru rieseni $H$ a tak jeho dimenzia je $dim(H)= 5$

Daj to do suvisu z pojmom JADRO LINEARNEJ APLIKACIE.

Teraz ti ostava si to podrobne nastudovat.... a na konci skus sama napisat to riesenie bez pomoci !

miluska535 · 14. 11. 2012 21:16

↑ vanok:
Parametr a jste zřejmě dosadil za $x_{2}$ , že?

vanok · 14. 11. 2012 21:21

Ano, ten preplep som opravil :-).
A dufam, ze tento model pouzijes, aj na tvojich pisomnych pracach .

miluska535 · 14. 11. 2012 21:25

Pokud mám tedy \overrightarrow{b_1}
$\overrightarrow{b_1} = (?,1,0,0,0,0)$

Tak mám opět jednu rovnici o dvou neznámých, tedy:
$\overrightarrow{b_1} \Rightarrow x_{1} + 4x_{2} = 1$
$x_{1} = 1 - 4x_{2}$

vanok · 14. 11. 2012 21:39

to posledne nema pre mna ziadny zmysel,
V rieseni je vsetko napisane ( az na to, ak to okamzite nevidis mozes dokazat ze 5 vektorov o ktorych pisem formuje jednu bazu)

miluska535 · 14. 11. 2012 21:45

Sice mi to trvalo déle, ale už to vidím!!!
I další příklad už jsem spočítala bez chyby.
Mockrát děkuji za pomoc! :)

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2012 18:18

Homogenní soustava rovnic

#2 14. 11. 2012 03:07

Re: Homogenní soustava rovnic

miluska535 napsal(a):

#3 14. 11. 2012 20:31

Re: Homogenní soustava rovnic

#4 14. 11. 2012 20:55 — Editoval jardofpr (14. 11. 2012 20:58)

Re: Homogenní soustava rovnic

#5 14. 11. 2012 20:58 Příspěvek uživatele miluska535 byl skryt uživatelem miluska535.

#6 14. 11. 2012 21:00 Příspěvek uživatele miluska535 byl skryt uživatelem miluska535.

#7 14. 11. 2012 21:03

Re: Homogenní soustava rovnic

#8 14. 11. 2012 21:05 — Editoval jardofpr (14. 11. 2012 21:08)

Re: Homogenní soustava rovnic

#9 14. 11. 2012 21:06 — Editoval vanok (14. 11. 2012 21:19)

Re: Homogenní soustava rovnic

#10 14. 11. 2012 21:06 Příspěvek uživatele miluska535 byl skryt uživatelem miluska535.

#11 14. 11. 2012 21:16

Re: Homogenní soustava rovnic

#12 14. 11. 2012 21:21

Re: Homogenní soustava rovnic

#13 14. 11. 2012 21:25

Re: Homogenní soustava rovnic

#14 14. 11. 2012 21:39

Re: Homogenní soustava rovnic

#15 14. 11. 2012 21:45

Re: Homogenní soustava rovnic

Zápatí