Matematické Fórum

ajeto · 13. 11. 2012 01:21

Dobrý večer,

riešim nasledujúce zadanie: Opíšte všetky funkcie patriace do $L_a^2(\mathbb{C})$ .

Bergmanov priestor $L_a^2(G)$ pre otvorenú množinu $G \subseteq \mathbb{C}$ máme definovaný ako

množinu všetkých holomorfných funkcií $f:G\rightarrow \mathbb{C}$ , pre ktoré platí $\int\int_G \,|f(x+iy)|^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y<\infty$ .

(predpokladám že podmienka sa môže napísať aj ako $\int_{G}|f(z)|^2\mathrm{d}z < \infty$ )

s mojimi chabými znalosťami z komplexnej analýzy by som odhadoval, že v priestore $L_a^2(\mathbb{C})$

by mohli byť napríklad funkcie, ktoré sú nenulové na ohraničenej podmnožine v $\mathbb{C}$
(ohraničené v zmysle absolútnej hodnoty komplexného čísla a diferencovateľné v $\mathbb{C}$ )

ale nemám tušenie akým spôsobom prísť ku všetkým funkciám v tomto priestore

Vďaka za odpovede

ajeto · 14. 11. 2012 23:25 — Editoval ajeto (15. 11. 2012 13:22)

Našiel som nasledujúce tvrdenie:

Nech $G$ je otvorená podmnožina $\mathbb{C}$ , nech $a \in G$ a $f \in L_a^2(G)$ .
Ak platí $0<r<\mathrm{dist}(a,\partial G)$ , potom platí

$|f(a)| \leq \frac{1}{r\sqrt{\pi}} \sqrt{\int\int_G |f(x+iy)|^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$

Skúsil som toto využiť v mojom príklade nasledovne:

Keďže je v príklade $G=\mathbb{C}$ , bude $\mathrm{dist}(a,\partial{G})=\infty$ pre každé $a$ .

Keďže funkcia $f \in L_a^2(\mathbb{C})$ musí spĺňať $\int\int_{\mathbb{C}} |f(x+iy)|^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y<\infty$ ,
bude aj odmocnina z tohto integrálu konečná.

Za $r$ teda môžem zobrať prakticky akékoľvek veľké číslo a limitne pre $r \to \infty$ budem mať $0 \leq |f(a)| \leq 0$ pre všetky $a \in \mathbb{C}$ , teda pre funkciu $f\in L_a^2(\mathbb{C})$ platí $f(a)=0 \,\forall a \in \mathbb{C}$ ,

jediná funkcia patriaca do priestoru $L_a^2(\mathbb{C})$ je teda funkcia $f(x+iy)\equiv 0$ .

Je toto v poriadku?

Brano · 15. 11. 2012 00:58 — Editoval Brano (15. 11. 2012 01:00)

Z komplexnej analyzy toho vela neviem, ale aby si nesiel nespravnym smerom tak aspon upozornenie.

Toto
$\int\int_G \,|f(x+iy)|^2\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y<\infty$
a toto
$\int_{G}|f(z)|^2\mathrm{d}z < \infty$
su uplne ine integraly - jeden je dvojrozmerny a druhy jednorozmerny, ak to chces cez komplexnu premennu, tak potom by som tipol nieco taketo
$\int\int_{G}|f(z)|^2\mathrm{d}z\mathrm{d}\overline{z} < \infty$ ,
ale isty si tym niesom.

Problematicky bod je tam iba $\infty$ . Ak je podstatne singularny, tak by som tipol, ze take funkcie v tom priestore nebudu. Ak je to pol, tak by sa to mohlo dat. Skusil by som na to ist cez greenovu vetu a v okoli $\infty$ ten dvojny integral previest na krivkovy. Ale znova upozornujem, ze su to iba tipy, ak budem mat viac casu tak sa na to este skusim pozriet, dovtedy mozno vydumas nieco ty, alebo ti poradi niekto iny.

ajeto · 15. 11. 2012 04:02

vďaka ↑ Brano:

musím poznamenať, že tvrdenie v skutočnosti platí vo forme,
do akej som ho zeditoval pred chvíľou..
zapísal som ho tak ako som ho zapísal preto, lebo som myslel že hovorím o ekvivalentých veciach..
nerozumiem kde je technicky rozdiel medzi tými zápismi,
ale to asi netreba teraz riešiť,
napadá ma, či je teraz tá úvaha v poriadku,
alebo je stále niečo zle

Brano · 15. 11. 2012 17:18

Vsetky kroky co si pouzil su logicky spravne, takze ak je to tvrdenie co pouzivas OK, tak to mas hotovo. Napis pripadne ako sa ta veta vola, ak ma meno, aby som si ju nasiel a naucil sa nieco nove. :)

ajeto · 15. 11. 2012 18:56

↑ Brano:

nenašiel som k tomu meno,
je to vlastne dôsledok lemy,
takto to vyzerá v knihe "Conway-A course in functional analysis (1985)" :
(použil som Corollary 1.12.)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vďaka :)

Brano · 15. 11. 2012 22:31

Len tak cisto zo zaujimavosti, na akej si skole? Ak ti teda nevadi taka otazka.

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2012 01:21

Funkcie v Bergmanovom priestore

#2 14. 11. 2012 23:25 — Editoval ajeto (15. 11. 2012 13:22)

Re: Funkcie v Bergmanovom priestore

#3 15. 11. 2012 00:58 — Editoval Brano (15. 11. 2012 01:00)

Re: Funkcie v Bergmanovom priestore

#4 15. 11. 2012 04:02

Re: Funkcie v Bergmanovom priestore

#5 15. 11. 2012 17:18

Re: Funkcie v Bergmanovom priestore

#6 15. 11. 2012 18:56

Re: Funkcie v Bergmanovom priestore

#7 15. 11. 2012 22:31

Re: Funkcie v Bergmanovom priestore

Zápatí