Matematické Fórum

drabi · 14. 11. 2012 17:14

Ahoj,
mám za úkol spočíst inverzní prvek k $(2-x)^{-1}$ v $Q[[x]]$ , vůbec si s tím bohužel nevím rady, pomohl by mi prosím někdo?

vanok · 14. 11. 2012 17:32

Ahoj ↑ drabi:,
Toto cvicenie z formalnych celych radov, nie je komplikovane.
Iste najdes sam odpoved, ti pripomenem, toto:
$\left( 1 - X \right)^{-1} = \sum_{n \ge 0} X^n$ .
Normalne sa to vyucuje uz v prvej lekcii o formalnych celych radoch.

Posli, ak su in line, tvoje skripta a napisem ti v ktorej casti mas odpovede na tvoju otazku. ( Najlepsia mozna referencia je kniha od Henri Cartan)

drabi · 14. 11. 2012 17:46

↑ vanok:
skripta najdeš tady, je to předposlední odkaz..

S tím součtem geometrické řady mě to taky napadlo, že
$(2-x)^{-1} = \frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty $\frac{x}{2}$^n$

a hledám takovou řadu, aby
$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j+k=n} $\frac{x}{2}$^j a_k$
byla jednotka

Nějak mi ale moc není jasné, co bude tou jednotkou

vanok · 14. 11. 2012 18:09 — Editoval vanok (15. 11. 2012 12:50)

inverzny prvok znamena, ze ide "opacny prvok" pre operaciu nasobenia.
o ktorom, ste iste videli, ze existuje len a len ak konstantny clen je nenulovy.

Co saz tyka dokazu, netreba sa z tym unavovat, styaci napisat, ze
vieme, ze $\left( 1 - X \right)^{-1} = \sum_{n \ge 0} X^n$ vdaka prednaske a ak dosadime za ....(dobrym dosadenim dostanes tvoj vysledok) .... cize pouzijes iuz dokazanu vetu....( ak by si to mala z opakovat, tak adaptuj presne profesorov postup na tvoju situaciu).

Poznamka: $2-X$ je rationalna rada, ktorej nenulove cleny su len $a_0=2$ a tiez $a_1=-1$

Staci?
Edit: Oprava preklepu

drabi · 15. 11. 2012 11:36

↑ vanok:
Bohužel tomu, co píšeš moc nerozumím.
ohledně řady $2-x$ je mi to jasné, akorát mě tam zaráží momentálně to $(2-x)^{-1}$
vím, jak to má být pro polynomy, to jsme si říkali na přednášce.
Na cvičení se měly probrat řady, ale já tam bohužel nebyla, tak v tom teď plavu.

v téhle části nějak nerozumím tomu prostřednímu členu:
$\left( 1 - X \right)^{-1} = \sum_{n \ge 0} X^n \left( 1 - X \right)^{-1} = \sum_{n \ge 0} X^n$

nechápu o kterých větách mluvíš.

vanok · 15. 11. 2012 12:49 — Editoval vanok (15. 11. 2012 12:58)

Ahoj ↑ drabi:,
Prepac, urobil som spatnu kopiu, dva krat som klikol
Spravne je $\left( 1 - X \right)^{-1} = \sum_{n \ge 0} X^n$
Hned to opravujem aj v tom povodnom prispevku.

To je take pisat na taktilnej klavesnici

Poznamky: 1)skutocne ide o formalne rady, tak nas zaujimaju len ich algebraicke vlasnosti.
2) polynomy su specialnym pripadom rad.
3) vety alebo veta je to co ste videli o tej rade , co som spatne okopiroval. ... a teraz opravil.

drabi · 15. 11. 2012 13:12 — Editoval drabi (15. 11. 2012 13:13)

↑ vanok:
ok
tak ta řada je teda
$(2-x)^{-1} = \frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty $\frac{x}{2}$^n = \sum_{n=0}^\infty $\frac{1}{2}$^{n+1} x^n$

a já hledám řadu, že

$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{j+k=n} $\(\frac{1}{2}$^{j+1} a_k\) x^n$ má být jednotka, ale fakt nevím, co je jednotka pro řady.

kexixex · 15. 11. 2012 13:28

↑ drabi:
v zadani je ale "spoctete $(2-x)^{-1}$ v $\mathbb{Q}[[x]]$ ", takze uz je hotove, ne?

vanok · 15. 11. 2012 13:29

↑ drabi:,
Druha cast, staci napisat: ze sucin rady
$\sum_{n=0}^\infty $\frac{1}{2}$^{n+1} X^n$
a rady $2-X$

je $1$

Inverzna rada, to znamena, ze ide nasobenie rad.

Formalne rady sa najcastejsie pisu z X à nie z x.
( inac moze byt dvojznacnost, z associovanou funkciou)

drabi · 15. 11. 2012 13:38

↑ vanok:
omlouvám se za natvrdlost, zrovna mi to došlo.. Hledala jsem v tom něco, co v tom není.
Díky moc

Matematické Fórum

#1 14. 11. 2012 17:14

inverzní prvek v Q[[x]]

#2 14. 11. 2012 17:32

Re: inverzní prvek v Q[[x]]

#3 14. 11. 2012 17:46

Re: inverzní prvek v Q[[x]]

#4 14. 11. 2012 18:09 — Editoval vanok (15. 11. 2012 12:50)

Re: inverzní prvek v Q[[x]]

#5 15. 11. 2012 11:36

Re: inverzní prvek v Q[[x]]

#6 15. 11. 2012 12:49 — Editoval vanok (15. 11. 2012 12:58)

Re: inverzní prvek v Q[[x]]

#7 15. 11. 2012 13:12 — Editoval drabi (15. 11. 2012 13:13)

Re: inverzní prvek v Q[[x]]

#8 15. 11. 2012 13:28

Re: inverzní prvek v Q[[x]]

#9 15. 11. 2012 13:29

Re: inverzní prvek v Q[[x]]

#10 15. 11. 2012 13:38

Re: inverzní prvek v Q[[x]]

Zápatí