Matematické Fórum

drabi · 13. 11. 2012 19:55

Ahoj,
mám trochu problém s příkladem:
Najděte všechny ireducibilní polynomy stupně nejvyýše čtyři v $Z_3[x]$ .

Nevím jak to řešit neotrocky.
Pro
st. 1: tak tam jsou reducibilní tyto polynomy $2x+2, 2x$
takže jsou to polynomy: $x, x+1, x+2, 2x+1$
st. 2: tady můžu opět vynechat tyto polynomy $2x^2 + 2, 2x^2 + 2x, 2x^2 + 2x + 2$
pro $ax^2 + b, x=0$ pak $b=0$ takže nejsou to polynomy $ax^2$
pro $ax^2 + b, x=1$ pak $a+b=0$ takže nejsou to polynomy, kde a = 1 (2), b = 2 (1)
pro $ax^2 + b, x=2$ pak $4a + b=0 = a+b$ což je ta samá situace
z toho mi vychází jediný polynom a to $x^2 + 1$

pro $ax^2 + bx + c, x=0$ pak $c=0$ takže nejsou to polynomy $ax^2 + bx$
pro $ax^2 + bx + c, x=1$ pak $a + b + c=0$ takže reducibilni jsou polynomy $x^2 + x+ 1, 2x^2 + 2x + 2$
pro $ax^2 + bx + c, x=2$ pak $4a + 2b + c=0$

atd...
No není to nic pěkného, nevíte, jak na to jít nějak jinak? Díky moc:)

vanok · 13. 11. 2012 20:49

Ahoj ↑ drabi:,
Najprv nieco nesedi. V texte cvicenia mas $Z_3[x]$
V napise $Z_5[x]$ .

Co je spravne ?

Inac taketo cvicenie som tu uz riesil ...ak ho najdes, moze to byt zaujimave.

Prva indikacia: staci studovat polynomy v ktorych je "hlavovy" koeficient je 1.(PRECO?)
Napr pre pol 3° su to polynomy $x^3, x^3+...$
Kolko ich je? (odpoved zavysi, od toho, co som vyssie pisal)

Na pokracovanie.

drabi · 13. 11. 2012 22:31

↑ vanok:
Ahoj, omlouvám se, je to myšleno v $Z_3[x]$
Tak nejspíš uvažujeme hlavový koeficient 1,
protože polynomy s koeficientem 2 dostaneme z jiného polynomu přenásobením dvojkou,
tím pádem není ireducibilní.

tim se to celkem omezí
pro st.1 mám $x, x+1, x+2$
st.2 $x^2+1, x^2+x+2, x^2+2x+2$
st.3 $x^3+2x+1, x^3+2x+2, x^3+x^2+2, x^3+2x^2+1$
a potom polynomy tvaru $x^3+ ax^2 + bx + c$
a to jsou
$x^3 + x^2 + x+ 2, x^3 +2 x^2 + x+ 1, x^3 + x^2 +2 x+ 1, x^3 + 2x^2 + 2x+ 2$

no a pro 4.st. obdobně.. akorát to ověřování pro vyšší stupně je pak náročnější, nedá se to taky nějak zjednodušit?

vanok · 13. 11. 2012 23:35 — Editoval vanok (14. 11. 2012 17:46)

dobre, napreduje to.
Vyberam na pracu "doplnkovu" metodu.
Cize si napises v kazdom pripade zoznam vsetkych polynomov, z hlavovym koeficientom 1( no to meno som vybral, lebo sa mi zda pekne... ale mozno V CZ existuje uz nejake ine co nepoznam), a jednoducho vylucime tie co su reduktibilne.

Priklad prace pri stupni 2
zoznam vsetkych polynovov, x^2+....

NAPIS HO

Teraz vieme ze reduktibilny polynom z hlavovym koeficientom 1, ma formu $(x-a)(x-b)$ ak $a \neq b$ , alebo $(x-c)^2$ kde $a,b,c \in \{-1; 0; 1 \}$ ( pozor, tu mame -1=2)

Tak teraz urob dokonale tuto cast.

potom ti dam este dolezite doplnky.

drabi · 14. 11. 2012 16:56

↑ vanok:
Tak teda ty polynomy st. 2 jsou
$x^2, x^2+1,x^2+2$
$x^2+x,x^2+2x,2x^2,2x^2+1,2x^2+2,2x^2+x,2x^2+2x$
$x^2+x+1,x^2+x+2,x^2+2x+1,x^2+2x+2,2x^2+x+1,2x^2+2x+1,2x^2+x+2,2x^2+2x+2$

no a ireducibilní jsou z nich ty, které nemají kořen 0,1,2
což jsou

$x^2+1, x^2+2x+2,x^2+x+2$

vanok · 14. 11. 2012 17:22 — Editoval vanok (14. 11. 2012 17:23)

↑ drabi:,
no to nie je celkom metoda co som ti navrhol... tak pridaj na zaciatku tvojho riesenia ake vlasnosti pouzivas v tvojom rieseni.

Ale mas stastie, pre stupen 2° funguje.
( tiez som ti navrhol pisat, v tomto pripade -1 miesto 2, co legitimne v tomto cviceni; vyhoda da to symetrickejsie odpovede).

Tak pouzi tvoje vedomosti aj pre stupen 3 a 4... ale POZOR ako vzdy v matematike treba uviest pouzite vety.... inac aj ked najdes dobru odpoved, mozes mat spatne ohodnotenie.
A ak myslis, pre kontrolu, daj sem tvoje konecne a dobre redigovane riesenie.

A este mala otazka? V ktorom si rocniku a na akom smere vam davaju taketo cvicenia?

drabi · 14. 11. 2012 17:26 — Editoval drabi (14. 11. 2012 17:27)

↑ vanok:
No ja jsem v jednotlivych polynomech zkousela, zda 0,1,2 je koren daneho polynomu,
kdyz nema ani jeden koren, pak je ireducibilní.
Ty rikas, at udelam rozklady jednotlivych polynomu.. Ale kdyz pak budu mit polynomy stupne ctyri,
tak mi to prijde ponekud silene vypisovat.
Tak jsem se chtela zeptat, jak to delat nejak chytreji nez probirat vsechny polynomy.

EDIT
jsem na obecne, je to z algebry, kterou opakuju

vanok · 14. 11. 2012 17:52

opravil som veci co latax nezobral

Pokial mas vyjadrit irreduktibilne polynomy, inu metodu nepoznam.
Keby si ich mala len vycislit, tak metodu co som popisal, by si mohla pouzit.

cize ide o druhy rocnik? na matem. smere?

Niic som nepisal zatial o 4°, pisal som najdi vsetki reduktibilne polynomy 2°....
Tvoja metoda, opakujem, funguje ale nazpis ake vlasnosti si pouzila.

Inac pre 3° ... ako to planujes riesit?

A pozor pre 4° .... tam, ak budes pokracovat podla metody co si zacala, budes mat problemy !

drabi · 15. 11. 2012 11:43

↑ vanok:
jj, obecná matematika, 3.ročník

tak použila jsem vlastnost, že je-li ten polynom ireducibilní, pak nemůže mít kořen 0,1,2 resp. -1,0,1
vidím, že toto ale samozřejmě neplatí na polynomy st.1 a nejspíš jak naznačuješ, tak nebude fungovat ani pro
polynomy st.4., nebo se pletu?

jak píšeš, tak

vanok napsal(a):
Teraz vieme ze reduktibilny polynom z hlavovym koeficientom 1, ma formu $(x-a)(x-b)$ ak $a \neq b$ , alebo $(x-c)^2$ kde $a,b,c \in \{-1; 0; 1 \}$ ( pozor, tu mame -1=2)

takže, pokud polynom nemá kořen, pak je nutně ireducibilní (mám pravdu?)
Zkusím to tvou metodou, jak píšeš, abych pro každý polynom našla daný rozklad. Ale jak pak postupovat pro polynomy vyššího stupně? Není jich zrovna málo.

vanok · 15. 11. 2012 12:42

↑ drabi:,
Mas pravdu, ze je to otrocke cvicenie.
Preto je dolezite chapat mechanizmus dokazu.

Co sa tyka tvojho tvrdenia ↑ drabi:, ktore tam pises nie je spravne.
Presnejsie pre stupne 2 a 3 je to platne tvrdenie.
Ale pre 4 nie....
a to preto vas prof vam dal tuto otazku (povedzme je to lapac na ludi, co nejdu dost do hlbky...)
Zabudla si ze vtedy polynom moze byt sucin dvoch ireduktibilnych polynomov.

( zasluzilo by si to maly dokaz)

drabi · 15. 11. 2012 13:00

↑ vanok:
uz mi to zacina byt jasne.. vim, jak urcit pocet tech reducibilnich polynomu, ale jeste jsem neprisla na to,
jak urcit pocet vsech polynomu
je to tak, že když mám st. 2, tak hledám počet polynomů tvaru $ax^2 + bx + c$ , přičemž $a \in \{1,2\}, b,c \in \{0,1,2\}$ , takže 2*3*3=18 je počet daných polynomů?

teda ne že by mi to mělo nějak pomoct, ale aspoň vím, kolik jich je, když už je hledám:)

vanok · 15. 11. 2012 13:22 — Editoval vanok (15. 11. 2012 14:48)

Pocet vsetkych polynomov: to je kombinotarika
Napr 3° , hlavovy koef. 1
Ine 3 koef. vzdy 3 moznosti

Cize mas 1. 3. 3.3=27 takych polynomov este 27 z koef $a=2=-1$

Forma reduktibilneho pol.
1)Sucin troch pol. 1° stupna.... Je ich.......
2) sucin ireduktibilny pol. À pol 1°

Poznamka: tu ta tvoja veta plati, tak mas aj kontrolu.

Suhlasim uplne, ze ide o otrocke cvicenie... ale dost mechanicke, ked vies ako na to.

drabi · 15. 11. 2012 13:28

no takže teď koukám na ten stupeň 3

celkově bych měla mít 54 polynomů tvaru $ax^3+bx^2+cx+d$
$a \in \{1,2\}, b,c,d \in \{0,1,2\}$ , 2*3*3*3=54

kolik jich je reducibilních?
no tak zase z polynomů stupně jedna budu vybírat trojice, takže bych jich mělo být
$\binom{5+3-1}{5-1} = \binom{7}{4} = 35$

takže omezím se na vedoucí koeficient a=1, takže všech polynomů budu mít polovinu a o 27 reducibilních méně
#p = 27
#r = 35-27 = 18

no a hned taky můžu vyloučit koncový koeficient d=0, takže budu mít o třetinu míň polynomů a o 9 míň reduc.
#p = 18
#r = 9

takže těch 18 prozkoumám, které jsou reducibilní a zbytek je ireducibilní? Je to tak dobře?

kexixex · 15. 11. 2012 13:36

otazka k tematu: proc je polynom 2x+1 reducibilni?
ano 2x+1=2(x+2), ale taky x+2=2(2x+1)
resp. jina formulace: jaky je vlastni delitel polynomu 2x+1?

drabi · 15. 11. 2012 13:48

↑ kexixex:
máš pravdu, jsem už z toho poněkud otupělá.
takže pro st. 1 jsou ireducibilní všechny polynomy (?)

tím pádem pro st.2 jsou ireducibilní polynomy
$x^2+1, x^2+2x+2,x^2+x+2$
a jejich násobky
$2x^2+2, 2x^2+x+1,2x^2+2x+1$

vanok · 15. 11. 2012 14:46 — Editoval vanok (15. 11. 2012 14:52)

↑ drabi:
Na vsetky pol , napr stupna 3, skutocne mas ich 2 x 27, ale z nich je automaticky 27 reduktibilnych. ( koef $a=2=-1$ )
pozor nasobok nejakeho irréduktibelneho pol je reduktibilny!

Poznamka: je evidentne, ze ireduktibilne polynomy maju hlavovy koef 1
( lebo koef su v jednom telese)

vanok · 15. 11. 2012 14:57

↑ kexixex:
Na aby si ukazal ze nejaky pol je reduktibilny alebo nie je niekedy viacej metod.
Cim je stupen vadci, tym je to komplikovanejsie, ale ak si dosledny, metoda co som popisal funguje.
Opakujem, moze to byt otrocka praca.

drabi · 15. 11. 2012 14:59

↑ vanok:
delam na tom a je to otrocka prace. Kazdopadne dekuju, hodne jsi mi pomohl:)

kexixex

↑ vanok:
definice ze skript: neinvertibilni prvek a je ireducibilni, pokud pro kazdy rozklad a=bc plati b||1 nebo c||1.
tj bud (b|1 & 1|b) nebo (c|1 a 1|c).
Ale napr polynom 2x+1 lze rozlozit jen na 2x+1=2(x+2),kde 2||1... Nebo mam nekde neco spatne?

takze 2x+1 je ireducibilni.

kexixex · 16. 11. 2012 00:01

↑ vanok:
ne, jen chci rict, ze polynom 2x+1 (i 2x+2) je ireducibilni (v Z3[x]).

vanok · 16. 11. 2012 00:22 — Editoval vanok (16. 11. 2012 02:15)

to je spravna odpoved.... podla skript
Jedine irreductibilne polynomy stupna 1 su $X, X+1, X-1$ a ich asociovane
$-X, -X+1, -X-1$

Edit, po citani skript

kexixex · 16. 11. 2012 00:30

podle definice ireducibilniho polynomu je ireducibilni i 2x+1. Ano, Z3 je teleso a kazdy prvek v Z3 ma inverzni. V mem priklade nepredpokladam, ze 2=0.
Jak bys ukazal, ze je 2x+1 reducibilni?

kexixex · 16. 11. 2012 00:32

↑ Honza90:
ireducibilni neznamena ze nema koreny viz definici vyse (prispevek #19)

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2012 19:55

ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#2 13. 11. 2012 20:49

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#3 13. 11. 2012 22:31

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#4 13. 11. 2012 23:35 — Editoval vanok (14. 11. 2012 17:46)

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#5 14. 11. 2012 16:56

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#6 14. 11. 2012 17:22 — Editoval vanok (14. 11. 2012 17:23)

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#7 14. 11. 2012 17:26 — Editoval drabi (14. 11. 2012 17:27)

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#8 14. 11. 2012 17:52

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#9 15. 11. 2012 11:43

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

vanok napsal(a):

#10 15. 11. 2012 12:42

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#11 15. 11. 2012 13:00

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#12 15. 11. 2012 13:22 — Editoval vanok (15. 11. 2012 14:48)

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#13 15. 11. 2012 13:28

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#14 15. 11. 2012 13:36

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#15 15. 11. 2012 13:48

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#16 15. 11. 2012 14:46 — Editoval vanok (15. 11. 2012 14:52)

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#17 15. 11. 2012 14:57

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#18 15. 11. 2012 14:59

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#19 15. 11. 2012 15:01 — Editoval kexixex (15. 11. 2012 15:03)

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#20 15. 11. 2012 15:27 Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: zbytocna poznamka

#21 16. 11. 2012 00:01

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#22 16. 11. 2012 00:22 — Editoval vanok (16. 11. 2012 02:15)

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#23 16. 11. 2012 00:28 — Editoval Honza90 (16. 11. 2012 00:34) Příspěvek uživatele Honza90 byl skryt uživatelem Honza90. Důvod: stupidní příspěvek

#24 16. 11. 2012 00:30

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

#25 16. 11. 2012 00:32

Re: ireducibilní polynomy v Z_5[x]

Zápatí