Matematické Fórum

loxir · 17. 11. 2012 14:32

Dobrý den, mohli byste mi napsat jak matematickou indukcí dokázat následující příklad? Děkuji moc.

$\forall n\in N: \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(2i-1)(2i+1)}=\frac{n}{2n+1}$

Arabela

Ahoj ↑ loxir:,
tak ja by som si najskôr to tvrdenie prepísala trochu názornejším spôsobom:
$\forall n\in N: \frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\ldots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$
Dôkaz matematickou indukciou.
$1^\circ$
Ukážeme, že tvrdenie je splnené pre n=1:
$L(1)=\frac{1}{1.3}=\frac{1}{3}$
$P(1)=\frac{1}{2.1+1}=\frac{1}{3}$
$L(1)=P(1)$
Pre n=1 tvrdenie platí.
$2^\circ$
Predpokladajme, že naše tvrdenie platí pre nejaké prirodzené číslo n=k (indukčný predpoklad):
$L(k)=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}=P(k)$
Ukážeme, že potom toto tvrdenie platí aj pre n=k+1,
takže malo by platiť:
$L(k+1)=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=P(k+1)$
Všimnime si, že platí: $L(k+1)=L(k)+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$
Ak teraz využijeme indukčný predpoklad
$L(k)=P(k)$ ,
dostávame $L(k+1)=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k(2k+3)+1} {(2k+1)(2k+3)}=\frac{2k^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$

Stačí vhodne rozložiť na súčin čitateľa posledného zlomku
$2k^{2}+3k+1=(2k+1)(k+1)$
a krátiť výrazom 2k+1 a sme hotoví...

vanok · 17. 11. 2012 15:31

Pozdravujem ↑ ((:-)):,

Pekna ilustracia metody indukcie.
To by mohol byt model pre kolegov stredskolakov.

Pridavam, len malu poznamku o inom moznom rieseni.

Je jednoduche dokazat, ze
$\frac{1}{(2i-1)(2i+1)}=\frac 12 \cdot $ \frac 1 {2i-1} - \frac 1 {2i+1} $$ .
Toto sa da pouzit na to ine riesenie.

Arabela · 17. 11. 2012 15:36

Zdravím ↑ vanok:,
tento námet sa mi veľmi páči.
Ja som to rozpísala ako stredoškolskú klasiku, ale žiaľ, došlo k nejakej chybe pri preklade, ktorú neviem nájsť, takže moje riešenie vyzerá dosť "spackane"...:(..

Arabela · 17. 11. 2012 15:52

↑ vanok:
tak už som si chybu našla...

((:-)) · 17. 11. 2012 15:59 — Editoval ((:-)) (17. 11. 2012 16:02)

↑ vanok:

Len pre poriadok:

Vanok, tiež Ťa zdravím. Svoj príspevok som zmazala - čo už.

Môj zápis trval kratšie ako Arabelin a neuviedla som komplet riešenie, čo by zadávateľke mohlo prekážať.

Hlavne, že sme zdraví...

vanok · 17. 11. 2012 17:02

Co mam povedat? Vsak obe ste urobili nieco dokonale ( ako to teraz vidim). Pokracujte takto!

Arabela · 17. 11. 2012 20:12

↑ vanok:
dakujem za uznanie

Arabela · 17. 11. 2012 22:47

Ahoj ↑ ((:-)):,
nemusela si mazať to svoje riešenie... myslím, že je vždy užitočné vidieť riešenie úlohy z niekoľkých rôznych pohľadov...

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2012 14:32

Matematická indukce - suma

#2 17. 11. 2012 15:17 — Editoval Arabela (17. 11. 2012 15:46)

Re: Matematická indukce - suma

#3 17. 11. 2012 15:31

Re: Matematická indukce - suma

#4 17. 11. 2012 15:36

Re: Matematická indukce - suma

#5 17. 11. 2012 15:52

Re: Matematická indukce - suma

#6 17. 11. 2012 15:59 — Editoval ((:-)) (17. 11. 2012 16:02)

Re: Matematická indukce - suma

#7 17. 11. 2012 17:02

Re: Matematická indukce - suma

#8 17. 11. 2012 20:12

Re: Matematická indukce - suma

#9 17. 11. 2012 22:47

Re: Matematická indukce - suma

Zápatí