Matematické Fórum

smaza · 29. 11. 2008 12:00

Prosím o pomoc s touto matematickou indukcí:

1+x^1+x^2+...+x^n=[x^(n+1)-1]/(x-1)

bielda · 29. 11. 2008 13:02 — Editoval bielda (29. 11. 2008 13:04)

↑ smaza:
Zdravím,
důkaz matematickou indukcí se dělá v několiká krocích.
Nejprve předpokládáme, že dokazovaný výrok platí pro n, poté ho dokážeme pro n+1.
Pokud se nám ho podaří dokázat pro n+1, platí i pro n.

Původní rovnice pro n:
$\frac{x^{n + 1} - 1}{x - 1} = 1 + x + x^2 + ... + x^n$

Pro n+1 tedy získáme rovnici:
$\frac{x^{n + 2} - 1}{x - 1} = 1 + x + x^2 + ... + x^n + x^{n + 1}$

Jelikož předpokládáme platnost původní rovnice, můžeme nyní za
$1 + x + x^2 + ... + x^n$
dosadit
$\frac{x^{n + 1} - 1}{x - 1}$

Získáme tedy
$\frac{x^{n + 2} - 1}{x - 1} = \frac{x^{n + 1} - 1}{x - 1} + x^{n + 1}$

Upravením pravé strany na společného jmenovatele dostaneme
$\frac{x^{n + 2} - 1}{x - 1} = \frac{x^{n + 2} - 1}{x - 1}$

Dokázali jsem platnost pro n+1, rovnice tedy platí i pro n.

Pavel Brožek · 29. 11. 2008 13:13

↑ bielda:

Důkaz matematickou indukcí se dělá ve dvou krocích - první jsi vůbec neuvedl.

1. Dokážeme výrok pro jedno n, zde n=0.
2. Předpokládáme, že výrok platí pro n a dokazujeme, že pak platí i pro n+1.

Tvůj postup u druhého kroku by mohl být správný, pokud by k němu byl jiný komentář :-).

"Pro n+1 tedy získáme rovnici:" - zde by mělo být "Pro n+1 budeme dokazovat rovnici:"

"Dokázali jsem platnost pro n+1, rovnice tedy platí i pro n." - zde by mělo být "Dokázali jsme, že pokud platí rovnice pro n, pak platí i pro n+1. Jelikož rovnice platí pro n=0, pak podle matematické indukce platí pro každé $n\in\mathbb{N}_0$ "

ttopi · 29. 11. 2008 13:17

↑ BrozekP:
My jsme dokazovali vždy v prvním kroku pro n=1 - to není pevně dané, pro jaké n se to musí dokazovat? Jasně, určitě záleží na tom, co je k úlože připsáno o tom, pro jaká n to máme dokazovat. My to většinou dělali pro n z N, čili bez 0, proto jsme začínali pro n=1.

bielda · 29. 11. 2008 13:23

↑ BrozekP:

Jo, pořád se mi zdálo, že mi tam něco chybí.

A komentáře už jsou jen hraní se slovíčky. Tvé verze jsou nesporně lepší, to přiznávám bez mučení. :-)

Nicméně pokud už smaza o matematické indukci slyšel, což z formulace „pomoc s touto“ předpokládám, komentáři porozumí... a třeba by si doplnil i mnou opomenutý první krok.

Pavel Brožek · 29. 11. 2008 13:37

↑ ttopi:

Řekl bych, že to je jedno. Pro n=0 to platí, tak proč to nedokázat, ale důležité to asi není.

↑ bielda:

Nesouhlasím, že je to pouze hraní se slovíčky. Jak jsi to napsal ty to není dobře. Nedokázal jsi implikaci "platí pro n+1 => platí pro n" jak uvádíš. Příklad je tak jednoduchý, že spíš myslím, že smaza nerozumí matematické indukci než tomu počítání. Takže je třeba se vyjadřovat přesně a pravdivě.

bielda · 29. 11. 2008 13:45

↑ BrozekP:

Ano, uznávám svou chybu.

Matematické Fórum

#1 29. 11. 2008 12:00

matematická indukce

#2 29. 11. 2008 13:02 — Editoval bielda (29. 11. 2008 13:04)

Re: matematická indukce

#3 29. 11. 2008 13:13

Re: matematická indukce

#4 29. 11. 2008 13:17

Re: matematická indukce

#5 29. 11. 2008 13:23

Re: matematická indukce

#6 29. 11. 2008 13:37

Re: matematická indukce

#7 29. 11. 2008 13:45

Re: matematická indukce

Zápatí