Matematické Fórum

Měsíček · 18. 11. 2012 21:55

Pěkný večer,
nevím si rady s následujícím příkladem:

"Určete 1. člen, diferenci a vzorec pro n-tý člen AP, v níž je součet prvních 3 členů roven 27 a součet druhých mocnin těchto členů je roven 275."

Zkoušel jsem to mnoha způsoby např. pomocí součtového vzorce - 27=3/2(a1+a3) a 275=3/2(a1 na druhou + a3 na druhou) a pak si z jednoho vyjádřit a3 a dosadit do toho druhého, ale vychází mi hausnumera, která vůbec nezapadají do výsledků, z čehož usuzuji, že takto postupovat nelze...

Nicméně řešení mě zajímá a tak vás snažně, prosím, jestli byste mi s tím pomohli a ukázali mi, jak to řešit.

Děkuji za pomoc!

((:-)) · 18. 11. 2012 22:12 — Editoval ((:-)) (18. 11. 2012 22:20)

↑ Měsíček:

Ak je postupnosť aritmetická, oplatí sa písať jej prvé tri členy v tvare

$a_2-d, a_2, a_2+d$

Potom ich súčet sa vyjadrí ľahko

$(a_2-d)+a_2+ (a_2+d)= 27$

a máš hodnotu $a_2$ ...

Dosadiť ju do vzťahu pre súčet prvých troch členov - dostaneš hodnotu súčtu $a_1+a_3$ .

Vyjadríš, dosadíš, vyriešiš kvadratickú rovnicu ...

BakyX · 18. 11. 2012 22:12

Ahoj. Prvé tri členy sú $a_1, a_1+d, a_1+2d$ . Platí:

$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=27$

$a_1^2+(a_1+d)^2+(a_1+2d)^2=275$

Vyjadríš si napríklad $d$ z prvej rovnice, dosadíš do druhej a máš kvadratickú rovnicu v premennej $a_1$ .

Arabela · 18. 11. 2012 22:14

Ahoj ↑ Měsíček:,
keď sa hovorí o troch za sebou nasledujúcich členoch aritmetickej postupnosti, obvykle sa oplatí "odraziť sa" od toho prostredného člena.
Napríklad členy si označ ako a, b, c a použi a=b-d, c=b+d (d je diferencia).Úžasne Ti to výpočty aj úvahy zjednoduší. Napríklad temer okamžite určíš prostredný člen (b)...

Cheop · 18. 11. 2012 22:18

↑ Měsíček:
$a_1+a_2+a_3=27\\a_1+a_1+d+a_1+2d=27\\3a_1+3d=27\\a_1+d=9\\a_2=9$
$a_1^2+a_2^2+a_3^2=275\\a_1^2+81+a_3^2=275\\a_1^2+a_3^2=194$
$a_1+9+a_3=27\\a_1+a_3=18$
Máme 2 rovnice:
$a_1+a_3=18\\a_1^2+a_3^2=194$
To už si dopočítej

Arabela

Zdravím ↑ Cheop:,
práve som chcela poradiť mesičkovi, aby si to skúsil obomi spôsobmi (jeden si navrhol Ty a bakyx a druhý Dana a ja), ale vidím, že už je offline...:( Moja skúsenosť je tá, že keď vyjadríme "krajné" členy pomocou prostredného, výpočty bývajú obvykle jednoduchšie...

((:-)) · 18. 11. 2012 22:33

↑ Arabela:

Arabela, ahoj.

Načo by Mesiačik počítal - a ešte dvoma spôsobmi, keď mu stačí opísať Cheopov postup?

Naozaj by bol na hlavu padnutý...

Arabela · 18. 11. 2012 22:43

↑ ((:-)):
tak vidíš... ja som asi večný optimista a idealista... verím, že ľudí problém zaujme a efektívnejšie riešenie ich poteší a očarí... hmmm...:(..

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2012 21:55

Aritmetická posloupnost

#2 18. 11. 2012 22:12 — Editoval ((:-)) (18. 11. 2012 22:20)

Re: Aritmetická posloupnost

#3 18. 11. 2012 22:12

Re: Aritmetická posloupnost

#4 18. 11. 2012 22:14

Re: Aritmetická posloupnost

#5 18. 11. 2012 22:18

Re: Aritmetická posloupnost

#6 18. 11. 2012 22:25 — Editoval Arabela (18. 11. 2012 23:21)

Re: Aritmetická posloupnost

#7 18. 11. 2012 22:33

Re: Aritmetická posloupnost

#8 18. 11. 2012 22:43

Re: Aritmetická posloupnost

Zápatí