Matematické Fórum

Zdravím, môžem vedieť z kade je ten príklad? Sa mi to zdá až príliž nereálne priblíženie, no uvidíme čo nám víde.

Nepočítali ste v škole náhodou príklad typu: jedno teleso (planéta, či mesiac, družica) obieha okolo druhého (Slnko, či Zem) a ak máte zadanú dobu obehu a vzdialenosť vypočítajte hmotnosť centrálneho telesa?
V takýchto príkladoch sa vzužívajú dva vzorce: odstredivá sila pôsobiaca na teleso pohybujúce sa po zakrivenej dráhe (v našom prípade kružnici) sa rovná:. Keďže odstredivá sila je kolmá na smer pohybu telesa, pri pohybe po kružnici smeruje vždy zo stredu kružnice. Naproti tejto sile pôsobí gravitačná sila, ktorá je rovná: . Táto sila zas pôsobí vždy smerom do stredu kružnice.
Ak sa má Slnko pohybovať rovnomerne po kružnici, musí byť výsledná sila pôsobiaca naň rovná nule.
Keďže je v zadaní napísané, že Slnko obieha na okraji galaxie, bude naň pôsobiť gravitačná sila celej galaxie s hmotnosťou M, jeho vzdialenosť od stredu galaxie je 2,2.10^22 m. Hmtnosť galaxie teda vypočítame porovnaním vyššie uvedených dvoch rovníc.
Keď získame M a vieme priemernú hmotnosť hviezdy v galaxii, určiť počet hviezd by už nemal byť problém:).
Ak by však boly otázky tak napíš.

BrozekP s tou dostredivou a odstredivou silou je to také zvláštne, na základnej, či v prvom ročníku strednej nás učili, že pôsobí proti gravitačnej, pri pohybe po kružnici, potom inde zas tvrdia, že je len výmysel a v skutočnosti sa to teleso pohybuje po kružnici len vďaka gravitačnej a tak ako ty hovoríš, tá spôsobuje, to zakrivenie trajektórie. Len stále v tom nemám celkom jasno, či to vzsvetlovať tak, že tam proste nejaká odstredivá sila existuje, alebo len gravitačná zakrivuje trajektóriu. Ak však vylúčim odstredivú silu, potom neviem ako by som riešil príklady typu aký je hore.

K tomu problému. Příklad se vyřeší tak, jak ot navrhnul matoxy porovnáním vztahů



Dovolil jsem si použít vztah, kde se pracuje s úhlovou rychlostí, nikoli s kruhovou rychlostí. Podle zadání se s tím bude lépe pracovat. Hmotnost Slunce m se nám může volně krátit. Když počítám, že M je součtem hmotností všech hvězd uvnitř, které váží jednotlivě stejně jako naše Slunce, tak dostáváme (N označím počet hvězd).



T je doba oběhu. Hvězdy při tomto modelu nemusí být rozmístěny rovnoměrně, ale stačí, že jsou rozístěny symetricky vůči středu (tzn. hustota hvězd je závislá pouze na vzdálenosti od středu galaxie a nikoli na tom, kde se na kouli o tomto poloměru nachází). Newtonův vztah pro gravitaci

(*)

Platí obecně pro jakýkoliv systém hmotnosti M, který je kulově symetrický (hvězdy uvnitř se mohou stahovat a rozlétavat, ale musí to dělat stejně v každém směru od středu).

Pochopitelně tento model je pro porovnání se skutečností opravdu velmi mimo. Na otázkách gravitace v takovém měřítku jasně vítězí Einsteinova teorie gravitace nad Newtonovou a projeví se i tajemná kosmologická konstanta, která způsobuje rozpínání/stahování vesmíru. Aby toho nebylo málo, tak ani Einsteinova teorie gravitace není ta nejlepší, protože se nějak zjistilo že galaxie se chová jinak než by měla podle pozorovaného rozoložení hmoty. Tak se tento defekt nahradil existencí temné hmoty, která tvoří podle hypotéz asi 70 procent hmotnosti galaxie (teď možná kecám, ale je to určitě něco mezi 60 a 90ti procenty). A co tenhle model podle mě pohřbije úplně je to, že hvězdy nejsou rozloženy se sférickou symetrií, ale spíše v disku.

Teď trochu odbočka. Řešila se tu otázka odstředivého zrychlení. Nejelpší bude vyhnout se nějakým odstředivým silám a pohledům z neinerciálního systému (zákony z těchto pohledů jsou o trochu komplikovanější než se učí na SŠ). A stačí uvažovat, že na Slunce působí síla směřující do středu galaxie (viz *) a pak stačí znát poučku, že pokud působí nějaké zrychlení kolmo na směr pohybu, tak se tento pohybu zakřivuje a poloměr křivosti je dán vztahem



a_n značím normálové (kolmé ke směru rychlsoti v) zrychlení. Tečná složka zrychlení nijak trajektorii nezakřivuje, jen se promítne do změny velikosti rychlosti, to ale při kruhovém obíání kolem hmotného středu je vždy 0.

A pokud se chceme přecejen opírat o neinerciální systémy a odstředivé síly .BrozekP už to tady celkem podrobně popsal. Jen bych doplnil, jak tyto problémy vlastně vznikly a proč je problém s tím dívat se na okolí z neinerciálního systému.

Odstředivá síla je pouze druh setrvačné síly (v tomto případě reakční síla na gravitační dostředivou sílu, která váže planetu do kruhového pohybu). Setračné síly se projevují vždy a jen v systémech, které zrychlují (nejsou inerciální) a odpovídají zrychlení této soustavy s opačnou orientací. Někdo tomu říká pravé a nepravé síly. Mě osobně je tato konvence trochu proti srsti. Zvlášť když je prokázané, že setravčná a gravitační síla od sebe nejdou žádným způsobem odlišit (leda pozorováním z globálního hlediska o rozložení hmoty, která generuje gravitační sílu). Coriolisova síla je pak důsledkem toho, že nesprávně popisujeme objekty pomocí souřadnic. Ať už volíme kartézské nebo polární souřadnice, tak ve spojení s obíhajícím objektem se tyto souařadnice budou měnit vůči inerciálnímu systému. To má za následek, že o kus vedle jsou souřadnice trochu otočené. Toto otočení souřadnic má za následek, že když derivejume vektor rychlosti abychom získali zrychlení (princip derivace je - podívám se na ten samý vektor o kousíček dál a porovnám), tak porovnáváme dva vektory rychlosti, kde každý se vyskytuje v jinak otočených souřadnicích. Pro správné derivování vektoru rychlosti tedy ten vektor "o kus dál" musíme otočit do souřadnic, kde se vyskytuje ten předchozí. Bavíme se o malých změnách, takže v prvním přiblížení lze toto otočení reprezentovat posunutím v kolmém směru k tomtuo vektoru. A právě tato změna vektoru rychlosti kolmá na něj se nazívá Coriolisovým zrychlením.

Ono je kolem toho z pohledu středoškolské fyziky obecně hrozný maglajz. "Když posunu vektor v prostoru, tak je to tentýž vektor". Toto je dost intuitivní věc, ze které plyne hromada vztahů, které nějakým způsobem pracují s vektory (rychlost, zrychlení, síla ...). Málo kdo ale ví, že tato velmi intuitivní věc platí pouze tehdy, když máme kartézké souřadnice (žádné polární nebo sferické nebo jinak pokřivené), které se nijak v čase nemění (žádné otáčení). To je splněno jen když popisujeme inerciální systém podle pravoúhlých os x,y,z. Jakákoliv snaha zjednodušit si situaci zavedením polárních souřadnic nebo nahlédnutí do sousatavy, která se otáčí nebo jinak zrychluje, přináší občas značné komplikace, které se na úrovni SŠ velmi špatně vysvětlují, dokud středoškoláky nenaučíme, jak se vlastně dělá operace typu derivace vektoru. Opravdu to není tak triviální jako u skalárů.