Matematické Fórum

durlinak · 19. 11. 2012 16:01

Ahoj chtěl bych vás poprosit jestli by mi někdo neporadil nebo spíš asi nevypočítal jednu limitu.

$\lim_{x\to0} \frac{1-\cos hx}{x^{2}}$

Bati · 19. 11. 2012 17:44

Ahoj,
to má být hyperbolický kosinus? Jestli ano, je možné použít l'Hospitala, nebo lépe Taylorovu řadu.

Pokud to je obyčejné h, jako parametr, tak stačí převést na limitu $\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac12$ .

durlinak · 20. 11. 2012 09:43

↑ Bati:

Ten kosinus má být hyperbolický mohl bys nějak prosím ukázat postup jak to udělat Taylorovou řadou?

Bati · 20. 11. 2012 14:29

↑ durlinak:
No buď si pamatuješ, že $\text{cosh}\:x=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots\quad \forall x\in\mathbb{R}$ , nebo si to odvodíš z definice $\text{cosh}\:x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ a znalosti Taylorovy řady $e^x$ , nebo si to najdeš na wikipedii.
Pak je vidět, že bude stačit řada rádu 2, tedy, že $\text{cosh}\:x=1+\frac{x^2}2+o(x^2)$ .
Dosadím:
$\lim_{x\to0} \frac{1-\text{cosh}\:x}{x^{2}}=\lim_{x\to0} \frac{1-1-\frac{x^2}2+o(x^2)}{x^{2}}=\lim_{x\to0}$-\frac12+\frac{o(x^2)}{x^2}$=-\frac12$

durlinak · 20. 11. 2012 17:46

↑ Bati:

Myslel jsem si že to takhle asi bude ale nebyl jsem si jistý.
Moc Děkuji za pomoc

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2012 16:01

Limita

#2 19. 11. 2012 17:44

Re: Limita

#3 20. 11. 2012 09:43

Re: Limita

#4 20. 11. 2012 14:29

Re: Limita

#5 20. 11. 2012 17:46

Re: Limita

Zápatí