Matematické Fórum

vaanha · 19. 11. 2012 18:07 — Editoval vaanha (19. 11. 2012 18:12)

Dobrý den, nevím si rady s příkladem týkajícím se Fourierovy transformace. Přestože jde prakticky jen o přepis vzorce, asi někde dělám nějakou zásadní chybu, protože nevím jak se dopočítat ke správným výsledkům.

Zadání úlohy: V 1D frekvenční doméně je dáno 6 Fourierových koeficientů:
$F[0] = 3; F[1] = 5/2 - i\sqrt{3}/2; F[2] = 3/2 + i\sqrt{3}/2; F[3] = 1; F[4] = -3/2 - i\sqrt{3}/2; F[5] = 5/2 + i\sqrt{3}/2$

Mám spočítat zpětnou Fourierovu transofmaci na těchto datech. Můj postup je následující(pro k = 0 vychází i správně).

Vycházím ze vzorečku:
$x(k) =\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}x(k)e^{\frac{i2\pi nk}{N}}$

tzn. pro k = 0 dostávám:

$x(0) = 1/6[3 + (5/2 - i\sqrt{3}/2) + (3/2 + i\sqrt{3}/2) + 1 + (-3/2 - i\sqrt{3}/2) + (5/2 + i\sqrt{3}/2)] = 1/6[6] = 1$
což by mělo být správně. Problém však nastává při přidání exponentu. Kupříkladu pro k = 1 dostanu:
$x(1) = 1/6[3 + (5/2 - i\sqrt{3}/2)e^(i2\Pi /6) + (3/2 + i\sqrt{3}/2)e^(i(2)2\Pi/6) +$
$+ 1e^(i(3)2\Pi /6) + (-3/2 - i\sqrt{3}/2)e^(i(4)2\Pi /6) + (5/2 + i\sqrt{3}/2)e^(i(5)2\Pi /6)] = 1/6[6] = 1$

což vyčíslím jako

$x(1) = 1/6[3 + (5/2 - i\sqrt{3}/2)(i) + (3/2 + i\sqrt{3}/2)(-1) +$
$+ 1(-i) + (-3/2 - i\sqrt{3}/2)(1) + (5/2 + i\sqrt{3}/2)(i)] = 1/6[6] = 1$

což dává výsledek 3+4i. Nicméně výsledek musí být reálné číslo.

Dokáže mi někdo říct, kde dělám chybu? Postup jsem si několikrát kontroloval a numerickou chybu(snad) nikde nedělám. Zkoušel jsem si najít i nějaký jiný studijní materiál než od našeho vyučujícího, leč ani v tom problém není. Už opravdu nevím :)

Předem díky za odpovědi!

jelena · 20. 11. 2012 21:03

Zdravím,

zeditovala jsem Tobě vzorec pro zpětnou transformaci. Z toho, co luštím, asi jsi ho nepoužil správně, např. pro k=1 u 2. členu se násobí - viz odkaz (2. alternate form).

Také je možné, že jsem to špatně rozluštila, případně ještě upřesni. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2012 18:07 — Editoval vaanha (19. 11. 2012 18:12)

Fourierova transformace

#2 20. 11. 2012 21:03

Re: Fourierova transformace

Zápatí