Matematické Fórum

johca · 20. 11. 2012 21:32

$\cdot \cos 1/x$ Ahoj, mám problém s vyřešením jedné limity..
$\lim_{x\to\infty }x^2\sin 1/x$

jde o neurčitý typ $\infty \cdot 0$ takže jsem dále postupovala derivací a jeden člen $x^2$ jsem si převedla do jmenovatele. dál si s tím ale nějak nevím rady, vyjde mi v čitateli $-x^-2\cdot \cos 1/x$ a ve jmenovateli $-2x^-3$ . Cosinus nuly vyjde jedna, ale nevim ted co s těmi zlomky. myslela jsem ze po dosazeni nekonecna vyjdou oba dva nula, ale spravny konecny vysledek ma byt $+\infty$ . Poradili byste mi prosím?

Bati · 20. 11. 2012 21:58

Ahoj,
zkusila jsi nepoužít l'Hospitalovo pravidlo? Je to vskutku docela jednoduché.

johca · 20. 11. 2012 22:10

no, to mě popravdě nenapadlo, protože to do testu stejně budeme muset počítat přes to pravidlo :). A jak by se to tedy počítalo bez použití l´Hospitala?

Bati · 20. 11. 2012 22:50

$\lim_{x\to\infty }x^2\sin \frac1x=\lim_{x\to\infty}x\cdot\lim_{y\to0+}\frac{\sin{y}}{y}=\infty\cdot1$ , kde $y=\frac1x$ .

To je, upřímně, blbost vyžadovat, abyste všechno počítali l'Hospitalem. Jednak je to nástroj, který spousta lidí bezmyšlenkovitě používá, přestože by ho jen hodně hodně malá část uměla odvodit, a druhak existuje spousta triviálních limit, podobných tvému příkladu, kde l'Hospitalovo pravidlo nevede k výsledku.

Rumburak

↑ johca:

Ahoj.
Nebo si tam tu substituci $y=\frac1x$ udělej hned na začátku a pak podmínky pro efektivní použití l'Hospitalova pravidla vzniknou.
Dostaneš

$\lim_{x\to\infty }x^2\sin \frac1x=\lim_{y\to0+}\frac{\sin{y}}{y^2}= \lim_{y\to0+}\frac{\cos{y}}{2y} = "\frac {1}{0+}" = +\infty$ .

Samozřejmě souhlasím s kolegou ↑ Bati:, že mechanické používání l'Hospitalova pravidla matematickou kreativitu příliš nerozvíjí.

Marian · 23. 11. 2012 11:26

↑ johca:

V původním příspěvku vidím, že pod znakem limity je uveden symbol $\infty$ . Těžko o něm soudit, jestli vyjadřuje pouze $+\infty$ , případně jsou to dvě úlohy v jednom a míní se tím $\pm\infty$ . Soudím tak z toho, že pro výsledek autor uvádí symbol $+\infty$ , kde jasně dává najevo znaménko.

Osoně se přikláním k preciznější variantě uvádějící znaménko nevlastního prvku vždy.

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2012 21:32

Limita funkce - L´Hospitalovo pravidlo

#2 20. 11. 2012 21:58

Re: Limita funkce - L´Hospitalovo pravidlo

#3 20. 11. 2012 22:10

Re: Limita funkce - L´Hospitalovo pravidlo

#4 20. 11. 2012 22:50

Re: Limita funkce - L´Hospitalovo pravidlo

#5 21. 11. 2012 09:31 — Editoval Rumburak (21. 11. 2012 09:36)

Re: Limita funkce - L´Hospitalovo pravidlo

#6 23. 11. 2012 11:26

Re: Limita funkce - L´Hospitalovo pravidlo

Zápatí