Matematické Fórum

Aquabellla · 20. 11. 2012 20:11

Pěkný večer přeji. Mám vypočítat limitu užitím mocninné řady:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x - x^2}{x^4}$

Mocninná řada sinu je: $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$ , pro $\forall x \in \mathbb{R}$

Jak mám sumu umocnit na druhou? Ať jsem to zkoušela jakkoliv, vycházela mi nula... i když výsledek má být $-\frac13$ , což se dá samozřejmě lehce ověřit L'Hospitalem.

Předem díky za jakoukoliv reakci :-)

Stýv · 20. 11. 2012 20:26

člen po členu. stačí ale použít první dva a zbytek shrnout do o(x^4)

Arabela · 20. 11. 2012 20:29

Ahoj ↑ Aquabellla:,
čo tak použiť v čitateli vzorec $a^{2}-b^{2}$ ?

vanok · 21. 11. 2012 12:34

Ahoj ↑ Aquabellla:,

Najprv poznamka od ↑ Stýv: je fondamentalna.
Pridal by som, ze treba pouzit to co sa vola aritmetika limitovanych rozvojov
Zjednodusene to znamena, ze vo vypoctovch typu $o(x^n)$ , mozes ignorovat, vsetki vyrazy z mecninamy > ako x^n.
Priklad
$\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+o(x^4)$
$\sin^2(x)= (x-\frac{x^3}{3!})^2= ...=x^2-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$ ( terme z x^6 moze byt a aj je vynechany)

V tvojom cviceni to da postupne
$\sin^2(x) - x^2=-\frac{x^4}{3}+o(x^4)$
$\frac{\sin^2 x - x^2}{x^4}= ...$

Aquabellla · 21. 11. 2012 19:16

↑ Stýv: ↑ vanok:

Já předtím zkoušela napsat si druhé mocniny prvních pár členů, ale to přijdu o to důležité při mocnění polynomu... Díky moc za radu :-)

↑ Arabela:

No vidíš, to mě nenapadlo a k výsledku jsem se též dostala, díky!

vanok · 21. 11. 2012 19:40

↑ Aquabellla:,
No to som ti dal take skor technicke rady.
Ak to raz vies, tak uvidis, kde a ako to treba pouzit.

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2012 20:11

Limita pomocí mocninné řady

#2 20. 11. 2012 20:26

Re: Limita pomocí mocninné řady

#3 20. 11. 2012 20:29

Re: Limita pomocí mocninné řady

#4 21. 11. 2012 12:34

Re: Limita pomocí mocninné řady

#5 21. 11. 2012 19:16

Re: Limita pomocí mocninné řady

#6 21. 11. 2012 19:40

Re: Limita pomocí mocninné řady

Zápatí