Matematické Fórum

Chanzy · 21. 11. 2012 16:21

Zdravím, dostal jsem úkol z diskrétní matematiky, který zní:
Řešte rekurenci $a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}a_{n}}$ s počátečními podmínkami $a_{0}=2 a_{1} = 8$

Bohužel, vůbec netuším jak na to, poradil byste mi tu někdo co s tím?

Rumburak · 21. 11. 2012 16:26

Zdravím také . Zlogaritmováním se to dá převést na lineární diferenční rovnici, jejichž teorii jste možná probírali.

JohnPeca18 · 21. 11. 2012 16:41

Ja by som skusil napsat prvych par clenu pomoci a1 a2.
Snad by tam mohlo vyjit neco jako
$a_{n+2}=(a_1.a_2)^{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k}}$
Ale to jenom tak v rychlosti premyslim, nevim jestli to je dobre.

Chanzy · 21. 11. 2012 16:51

No začal bych spíše dotazem co to znamená řešte rekurenci? Co má být výsledkem?

Rumburak

↑ Chanzy:

Řešením rekurentního vztahu (v našem případě vztahu $a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}a_{n}}$ , $a_{0}=2 a_{1} = 8$ )
ja každá konkretní posloupnost $(a_n)$ , která mu vyhovuje. Řešit rekurenci tedy znamená nalézt (pokud možno všechny)
takové posloupnosti, tj. určit je explicite nějakým předpisem tvaru $a_n := f(n)$ , kde $f$ je nalezená funkce.

Chanzy · 21. 11. 2012 19:05 — Editoval Chanzy (21. 11. 2012 20:15)

↑ Rumburak: Čili se snažím zbavit té závislosti na předcházejících členech? Jsou na to nějaké "kuchařky"? Bohužel diferenční rovnice jsme ještě neprobírali...

Rumburak

↑ Chanzy:
Ano, zbavit se té rekurentní závislosti. Například rekurentní rovnici $u_{n+1} = u_n + 2$ řeší všechny aritmetické posloupnosti $(u_n)$ s diferencí 2,
jejichž obecný "funkční" předpis je $u_n = u_1 + 2(n-1)$ závislý už jen na volbě členu $u_1$ (tzv. počáteční podmínce).

Obecná kuchařka na všechny možné typy takových úloh neexistuje, pouze na některé (např. i zmíněné lineární diferenční rovnice), v ostatních případech
nutno zapojit matematickou kreativitu. Například nalézt možný vrozec empiricky (tj. zkusmo na základě několika prvních členů) a pak matematickou
indukcí dokázat, že takto definovaná posloupnost vyhovuje rekurentní rovnici všemi svými členy.

Další způsob je upravit rekurentní rovnici na nějaký jiný tvar, z něhož by řešení bylo lépe viditelné. U naší úlohy je z jejích počátečních podmínek
i rekurentního vztahu zřejmé (indukcí), že všechny členy hledané posloupnosti budou kladné, takže rovnici $a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1}a_{n}}$ můžeme vydělit
členem $a_{n+1}$ , čímž dostaneme nejprve $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \sqrt{\frac {a_n}{a_{n+1}}}$ , substitucí $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = b_n$ pak $b_{n+1} = \sqrt{\frac {1}{b_n}}$ , což je rovnice jednodušší než ta
původní. Můžeme ji dále logaritmovat na $\ln b_{n+1} = - \frac {1}{2}\ln b_n$ , substitucí $c_n = \ln b_n$ získat $c_{n+1} = - \frac {1}{2} \,c_n$ , řešit tuto rovnici už patří
do středoškolské výbavy. Až ji vyřešíme, vrátíme se k rovnici $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \mathrm{e}^{c_n}$ (pravá strana je rovna $b_n$ ), kterou vyřešit už nebude příliš těžké.

OK. ?

Chanzy · 22. 11. 2012 16:01

↑ Rumburak:
Měl bych dotaz k tomu začátku, kde dělíš $a_{n+1}$ ....jak můžeš pak na pravé straně mít ten výraz pod odmocninou? To bys musel dělit odmocninou z toho výrazu, ne?

Rumburak · 22. 11. 2012 16:30

↑ Chanzy:
Provedu to tedy podrobně . Jak bylo konstatováno, je $a_{n+1} > 0$ , takže $a_{n+1} = $\sqrt{a_{n+1}}$^2 = \sqrt{a_{n+1}^2}$ a

$\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac { \sqrt{a_{n+1}\cdot a_{n}}}{ \sqrt{a_{n+1}^2}} = \sqrt{\frac{a_{n+1}\cdot a_{n}}{a_{n+1}^2}} = \sqrt{\frac {a_n}{a_{n+1}}}$ .

xanadu · 25. 11. 2012 21:27

$c_{n+1} = - \frac {1}{2} \,c_n$

Jake by bylo reseni? Jsem v rekurentnich rovnicich take zacatecnik.
Dekuji

Chanzy · 26. 11. 2012 07:38

↑ xanadu:
Nevím, jestli je můj postup úplně korektní, ale doporučuju si vypsat pár členů a z toho už to nějak vykoukáš ;-)

Rumburak · 26. 11. 2012 08:47

↑ xanadu:
Je to geometrická posloupnost o kvocientu $- \frac {1}{2}$ .

xanadu · 26. 11. 2012 14:46

↑ Rumburak:

Můžete tu prosím naznačit tu zpětnou substituci? Snažím se to dát dohromady, ale dělá mi to problém. Popř. neznáte nějaká skripta nebo webovou stránku, z čeho se dají rekurentní rovnice "dobře naučit počítat"?

Rumburak · 26. 11. 2012 15:51

↑ xanadu:

Z $c_{n+1} = - \frac {1}{2} \,c_n$ plyne - označíme-li pro zjednodušení zápisu $q = - \frac {1}{2}$ : $c_n = c_0q^n$ (počátečním členem posl. $(c_n)$ je . $c_0$ ).

Člen $c_n$ byl definován vztahem $c_n = \ln b_n$ , odtud $b_n = \mathrm{e}^{c_n}$ . Dále $b_n$ bylo definováno jako $b_n = \frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ , spojením těchto vztahů
dostáváme $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = b_n = \mathrm{e}^{c_n} = \mathrm{e}^{c_0q^n}$ .

Finální krok:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

xanadu · 26. 11. 2012 19:04

↑ Rumburak:

Když si dosadím do vztahu $a_{2}=2^{c_{0}.(\frac{1-(-1/2)^n}{3/2})}$ vyjde mi, že $c_{0}$ je 4. Když zkusím pro $a_{3}$ dosadit, zda pro tento člen to platí také (s c0 = 4), vychází nesmysly. Kde dělám chybu?
Děkuji

xanadu · 26. 11. 2012 20:18

↑ xanadu:
zřejmě numerická chyba, zdá se mi to nyní správně :)

Rumburak

↑ xanadu:

Hodnotu n = 2 zde musíme dosadit také do pravé strany rovnice - zřejmě jen nepozornost.

vitas · 01. 12. 2012 07:45

↑ xanadu:

$c_{o}$ neni 4, ale $\ln 4$

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2012 16:21

Rekurence

#2 21. 11. 2012 16:26

Re: Rekurence

#3 21. 11. 2012 16:41

Re: Rekurence

#4 21. 11. 2012 16:51

Re: Rekurence

#5 21. 11. 2012 17:28 — Editoval Rumburak (22. 11. 2012 08:34)

Re: Rekurence

#6 21. 11. 2012 19:05 — Editoval Chanzy (21. 11. 2012 20:15)

Re: Rekurence

#7 22. 11. 2012 09:27 — Editoval Rumburak (22. 11. 2012 15:47)

Re: Rekurence

#8 22. 11. 2012 16:01

Re: Rekurence

#9 22. 11. 2012 16:30

Re: Rekurence

#10 25. 11. 2012 21:27

Re: Rekurence

#11 26. 11. 2012 07:38

Re: Rekurence

#12 26. 11. 2012 08:47

Re: Rekurence

#13 26. 11. 2012 14:46

Re: Rekurence

#14 26. 11. 2012 15:51

Re: Rekurence

#15 26. 11. 2012 19:04

Re: Rekurence

#16 26. 11. 2012 20:18

Re: Rekurence

#17 27. 11. 2012 13:28 — Editoval Rumburak (27. 11. 2012 13:30)

Re: Rekurence

#18 01. 12. 2012 07:45

Re: Rekurence

Zápatí