Matematické Fórum

Aquabellla

Pěkný den přeji.

Nalezněte Fourierovu řadu funkce:
$f(x) = \begin{cases} 1 & x \in (-\pi, 0) \\ -1 & x \in (0, \pi) \end{cases}$

Bylo mi řečeno, že jednotlivé koeficienty mám počítat jako součet integrálu s tím, že jeden je od $-\pi$ do 0 a druhý od 0 do $\pi$ .
Z grafu je vidět, že funkce je lichá, tudíž koeficienty $a_n = 0$ . Jenže mně se vynulovaly i koeficienty $b_n$ .
Jak se má na tento typ příkladů jít, abych se dostala ke správnému výsledku?

Předem děkuji.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

LukasM · 23. 11. 2012 13:29

↑ Aquabellla:
Jak na to jít? Spočítat ty integrály správně. Musíš si tam rozlišit sudé a liché n. Pošli svůj postup.

Jinak první integrál bude samozřejmě od $-\pi$ .

Aquabellla · 23. 11. 2012 13:52

↑ LukasM:

Díky, to byl překlep.

$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{0} \sin(nx) dx + \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{-\pi}^{0} + \frac{1}{\pi} \left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi} = \nl = \frac{1}{n\pi}(-1 + (-1)^n) + \frac{1}{n\pi}(-(-1)^n + 1) = 0$ - což se od sebe odečte

Jak myslíš to rozlišení na sudé a liché n?

LukasM · 23. 11. 2012 14:02 — Editoval LukasM (23. 11. 2012 14:02)

↑ Aquabellla:
Proč jsme to vůbec dělili na dva integrály? Jaký to mělo důvod? Kdyby to bylo tak jak píšeš, tak to stačilo nechat jako jeden integrál od $-\pi$ do $\pi$ , ne? Tak proč jsme to dělali?

Aquabellla · 23. 11. 2012 14:17

↑ LukasM:

Protože funkce je definovaná na dvou intervalech a na každém z nich vypadá jinak... jak se to tedy má řešit?
Jde o to, že pak mám i různé jiné příklady, kde na části je funkce nulová a na druhém intervalu je to třeba sinus, tak bych ráda pochopila, jak pracovat s takto rozdělenými funkcemi.

LukasM · 23. 11. 2012 14:22 — Editoval LukasM (23. 11. 2012 14:22)

↑ Aquabellla:
No přesně tak, na každém vypadá jinak. Kde to je v tom tvém výpočtu zohledněno?

Edit: ještě o tom jednou popřemýšlej, pak už ti to vyklopím :-)

Aquabellla · 23. 11. 2012 14:41

↑ LukasM:

Ježiši, já zapomněla na to mínus u $-1$ :-D tak moc děkuji, pak se to samozřejmě nenuluje, ale vede to k výsledku :-)

$- \frac{1}{n\pi}(-1 + (-1)^n) + \frac{1}{n\pi}(-(-1)^n + 1) = \frac{2}{n\pi}(1 - (-1)^n) = \frac{4}{(2k - 1)\pi}$

LukasM · 23. 11. 2012 14:47

↑ Aquabellla:
Ano. Tys vlastně spočítala koeficienty u F.ř. pro funkci f(x)=1. Tam je ale jediný nenulový člen $a_0$ , všechny ty vlnící se členy budou nulové.
Pokud je funkce někde nulová a někde sinus, je to stejný princip.

Matematické Fórum

#1 23. 11. 2012 13:15 — Editoval Aquabellla (23. 11. 2012 13:42)

Fourierova řada

#2 23. 11. 2012 13:29

Re: Fourierova řada

#3 23. 11. 2012 13:52

Re: Fourierova řada

#4 23. 11. 2012 14:02 — Editoval LukasM (23. 11. 2012 14:02)

Re: Fourierova řada

#5 23. 11. 2012 14:17

Re: Fourierova řada

#6 23. 11. 2012 14:22 — Editoval LukasM (23. 11. 2012 14:22)

Re: Fourierova řada

#7 23. 11. 2012 14:41

Re: Fourierova řada

#8 23. 11. 2012 14:47

Re: Fourierova řada

Zápatí