Matematické Fórum

Sulfan · 23. 11. 2012 17:32

Dobrý den,
řeším následující diferenciální rovnici: $x{y}''{y}'=({y}')^{2}+x^4$ .

Substitucí $z={y}'$ jsem ji převedl na rovnici ${z}'\cdot (zx)-(z^2+x^4)=0$ , ale tato rovnice není exaktní, homogenní, ani zde nejde nějakým způsobem separovat proměnné.

Nemáte někdo nápad, jak pokračovat?

Děkuji za odpověď.

pietro · 23. 11. 2012 17:49

↑ Sulfan: Ahoj!

Náš kamarát stroj to označil za Bernoulliho rovnicu, pozri step-by-step

http://www.wolframalpha.com/input/?i=z% … x^4%29%3D0

Tomas.P

↑ Sulfan:
Postup (http://mi21.vsb.cz/sites/mi21.vsb.cz/fi … ovnice.pdf):
$xy''y'=(y')^{2}+x^4$ , substituce: $y'=z{\Rightarrow}z'(zx)-z^2=x^4 /:zx$
(1) $z'-z\frac{1}{x}=\frac{x^3}{z} /{\cdot}z{\Rightarrow}zz'+$-\frac{1}{x}$z^2=x^3$ ,
substituce: $u=z^2{\Rightarrow} /()'{\Rightarrow}u'=2zz'{\Rightarrow}z'=\frac{u'}{2z}$ ,
dosazení do (1): $z\frac{u'}{2z}+$-\frac{1}{x}$u=x^3{\Rightarrow}u'+2$-\frac{1}{x}$u=2x^3$ ,
Bernoulliova dif. rce přechází do dif. rce 1.řádu ve tvaru: $u'+a(x)u=b(x)$ , kde $a(x)=-\frac{2}{x}$ , $b(x)=2x^3$ , roznásobím dif. rce 1.řádu $e^{\int a(x)dx}=e^{-2ln(x)}=\frac{1}{x^2}$ a dostávám: $$u{\cdot}\frac{1}{x^2}$'=\frac{1}{x^2}{\cdot}2x^3$
$$u{\cdot}\frac{1}{x^2}$'=2x{\Rightarrow}\int{\Rightarrow}u=x^2{\cdot}$x^2+C$$ ,
$u=z^2$ proto: $z^2=x^2{\cdot}$x^2+C$ /{\cdot}\sqrt{}{\Rightarrow}z={\pm}x{\cdot}\sqrt{$x^2+C$}$ , dále $y'=z$ proto: $y'={\pm}x{\cdot}\sqrt{$x^2+C$}$ a po integraci vychází: $y={\pm}\frac{1}{3}$x^2+C_1$^{\frac{3}{2}}+C_2$ .

Sulfan · 23. 11. 2012 21:03

↑ pietro: Děkuji, bohužel zde nejsem registrovaný, abych mohl zobrazit postup řešení.

↑ Tomas.P: Díky, to vydělení tím zx byl zřejmě klíčový krok, pak mi to je naprosto jasné. Uděluji bodík :)

Matematické Fórum

#1 23. 11. 2012 17:32

Diferenciální rovnice

#2 23. 11. 2012 17:49

Re: Diferenciální rovnice

#3 23. 11. 2012 20:34 — Editoval Tomas.P (23. 11. 2012 20:41)

Re: Diferenciální rovnice

#4 23. 11. 2012 21:03

Re: Diferenciální rovnice

Zápatí