Matematické Fórum

domorodec_lk · 24. 11. 2012 07:59

zdravím tady na fóru.

mohl by mi někdo pomoci s inverzní funkcí ke kvadratické typu $f(x)=x^{2} + 6x - 3$ . ale nevím si s ní rady. Je mi jasné. že inverzní funkce k ní neexistuje, protože není prostá, ale inverzní funkce by se dala najít s definičním oborem $(0;\infty )$

iverzní funkci ke kvadratické tohoto typu $f(x)=x^{2} + 3$ bych našel tímto postupem
$y=x^{2} + 3$ $\Rightarrow$ $y - 3 = x^{2}$ $\Rightarrow$ $x=\sqrt{y-3}$
prohodím x za y a vyjde $y=\sqrt{x-3}$

jak tedy správně postupovat s inverzní funkcí k funkci $y=x^{2} + 6x - 3$

Mihulik · 24. 11. 2012 08:55

Ahoj,
zkus klasickou úpravu "doplnění na čtverec":)
A při tom rovnou uvidíš, že funkce je dokonce prostá na "širším" intervalu:)

domorodec_lk · 24. 11. 2012 14:08

↑ Mihulik:
takže po převedení na čtverec mě vyšlo toto: $y=(x+3)^{2}-12$
pak jsem převedl -12 $(x+3)^{2}=y+12$ a hned celou rovnici odmocnil $(x+3)=\sqrt{y-12}$
a výsledek mi vyšel tako:
$y=\sqrt{x-12}-3$
je takto postup správný?

((:-)) · 24. 11. 2012 14:12 — Editoval ((:-)) (24. 11. 2012 21:04)

↑ domorodec_lk:

Technická: pod odmocninou $+$

Okrem toho myslím, že

$(x+3)^{2}=y+12$

$|x+3|=\sqrt{y+12}$

$x+3=\pm\sqrt{y+12}$

atď.

Obrázok:

Pôvodná (kvadratická funkcia) je vyznačená sivou farbou.
Prerušovanými čiarami (červenou a zelenou)sú vyznačené časti, pre ktoré je funkcia monotónna a teda prostá (a teda existuje k nej inverzná).
Neprerušovanou (červenou a zelenou farbou) sú vyznačené príslušné inverzné funkcie.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Mihulik

↑ domorodec_lk:
$f(x)=x^{2}+6x-3=x^{2}+6x+9-12=(x+3)^{2}-12$
Ze znalosti průběhu kvadratické funkce víme, že $f$ je prostá na intervalu $[-3, \infty )$ a že na tomto intervalu nabývá všech hodnot z intervalu $[-12, \infty)$ .
Potom tedy pro $x\in[-3,\infty )$ , a tedy $f(x)\in[-12,\infty )$ :
$f(x)=(x+3)^{2}-12\Rightarrow f(x)+12=(x+3)^{2}\Rightarrow ^{nezaporne}\sqrt{f(x)+12}=|x+3|=x+3\Rightarrow x=\sqrt{f(x)+12}-3$
A tedy pro $x\in[-12,\infty)$ je $f^{-1}(x)=\sqrt{x+12}-3$

Je potřeba si rozmyslet, na jakých intervalech se pohybujeme a stím spojené věci:)

domorodec_lk · 24. 11. 2012 17:39

↑ ((:-)):

pravda, pod odmocninou má být $+$ a díky ještě za doplnění. je to tak jak jsi naznačil.

↑ Mihulik:

no s vyšetřením definičního oboru mám ještě trochu problém, nedokážu to tak z hlavy vystřelit. ale díky za ukázku. pomohlo mi to.

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2012 07:59

iverzní funkce ke kvadratické

#2 24. 11. 2012 08:55

Re: iverzní funkce ke kvadratické

#3 24. 11. 2012 14:08

Re: iverzní funkce ke kvadratické

#4 24. 11. 2012 14:12 — Editoval ((:-)) (24. 11. 2012 21:04)

Re: iverzní funkce ke kvadratické

#5 24. 11. 2012 15:01 — Editoval Mihulik (24. 11. 2012 15:04)

Re: iverzní funkce ke kvadratické

#6 24. 11. 2012 17:39

Re: iverzní funkce ke kvadratické

Zápatí