Matematické Fórum

SoniCorr · 24. 11. 2012 19:03

Zdravím, mám takový příklad $\lim_{n\to+\infty }\sqrt[n^{2}]{n!}$ mohl sevrit mezi $lim_{n\to+\infty }\sqrt[n^{2}]{n}\le lim_{n\to+\infty }\sqrt[n^{2}]{n!}\le lim_{n\to+\infty }\sqrt[n]{n!}$ a rict ze limita je jedna. Ale nevim jak bych zduvodnil, ze n ta odmocnina z n je 1

user · 24. 11. 2012 19:26

Ahoj,
zkusil bych úpravu $\sqrt[n^2]{n!}=e^{\frac{\ln n!}{n^2}}$ . Na limitu exponentu je vhodný Stolz.

SoniCorr · 24. 11. 2012 19:34

nice! okey, vysel mi tam takovy problem, jak se zduvodni ze ln(1+n)/ln(n!) je 0?

user · 24. 11. 2012 19:51 — Editoval user (24. 11. 2012 19:55)

Není mi jasné jak jsi se k tomuto problému dostal při tomto řešení. Je vhodné použít $\ln n!=\sum_{k=1}^n\ln k$ .

Zdůvodnění tebou uvedené limity:
$\frac{\ln(n+1)}{\ln n!}=\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\cdot\frac{1}{\ln (n-1)!}$

SoniCorr · 24. 11. 2012 19:59

takto : $e^{\frac{\frac{ln((n+1)!)}{(n+1)^{2}}}{\frac{ln(n!)}{n^{2}}}}$ = $e^{\frac{(ln(n+1)+ln(n!))(n^{2})}{n^{2}(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{2}})(ln(n!)}}$ pak vytknes logaritmus a zustane ti co to jsem napsal

user · 24. 11. 2012 20:16 — Editoval user (24. 11. 2012 20:18)

Aha, to je podílové kritérium a myslím, že o výsledku nerozhodne. Já jsem myslel $\lim_{n\to + \infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}$ .

SoniCorr · 24. 11. 2012 20:23

takže to bude takhle ? $e^{\frac{ln(n+1)!-ln(n!)}{(n+1)^{2}-n^{2}}}$ .V tom pripade mi vznikne $e^{\frac{ln(n+1)}{2n+1}}$ to je celkem podobny problem

user · 24. 11. 2012 20:40

$\frac{\ln n}{n}$ je známá limita. Šlo by to ukázat opětovným použitím Stolze.

SoniCorr

a to lze pouzit vzorec ve vzorci? okey, jestli je to takhle mozne, tak to mam, diky moc :-)

user · 24. 11. 2012 20:46

To není použití "vzorce ve vzorci". Na začátku mám jednu limitu a ta se za nějakých předpokladů rovná druhé. Tu druhou mohu zase řešit libovolnými metodami.

Je to anologické např. dvojímu použiltí L'Hospitalova pravidla.

Indie · 24. 11. 2012 23:15

Môžeš to aj ohraničiť

$1\le \sqrt[n^2]{n!}\le \sqrt[n^2]{n^n}$

a $\sqrt[n^2]{n^n}= \sqrt[n]{n}$ a tento výraz ide do 1.

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2012 19:03

Limita posloupnosti 4

#2 24. 11. 2012 19:26

Re: Limita posloupnosti 4

#3 24. 11. 2012 19:34

Re: Limita posloupnosti 4

#4 24. 11. 2012 19:51 — Editoval user (24. 11. 2012 19:55)

Re: Limita posloupnosti 4

#5 24. 11. 2012 19:59

Re: Limita posloupnosti 4

#6 24. 11. 2012 20:16 — Editoval user (24. 11. 2012 20:18)

Re: Limita posloupnosti 4

#7 24. 11. 2012 20:23

Re: Limita posloupnosti 4

#8 24. 11. 2012 20:40

Re: Limita posloupnosti 4

#9 24. 11. 2012 20:41 — Editoval SoniCorr (24. 11. 2012 20:43)

Re: Limita posloupnosti 4

#10 24. 11. 2012 20:46

Re: Limita posloupnosti 4

#11 24. 11. 2012 23:15

Re: Limita posloupnosti 4

Zápatí