Matematické Fórum

Skumin · 25. 11. 2012 12:48

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícím příkladem:
$\lim_{x\to\infty }\frac{\ln (x^2-x+1)}{\ln(x^{10}+x+1) }$
Zkoušel jsem to nějak upravovat, například podle vzorové limity $\lim_{x\to\infty }\frac{\ln (x)}{x^{a} }=0$ , ale vždycky mi vyjde nějaký nedefinovaný výraz. Čitatel navíc v $\mathbb{R}$ nejde rozložit na součin. A vůbec to bude asi špatný postup, protože výsledek má být $\frac{1}{5}$ . Předem díky za pomoc!

Skumin · 25. 11. 2012 12:58

Ještě mě tak napadlo, že by bylo korektní vytknout z logaritmů nejvyšší mocninu, pak výrazy rozdělit každý na dva logaritmy a dopočítat. Šlo by to takhle?

skoroakvarista · 25. 11. 2012 13:07

↑ Skumin:
Ahoj, z logaritmů vytýkat nemůžeš. Znáš a můžeš použít l'Hospitalovo pravidlo?

22.12.2012 · 25. 11. 2012 13:09

↑ Skumin:Já bych to dělal takhle:
1. ve jmenovateli i v čiteteli si vytknu nejvyšší mocninu
2. rozdělím vyrazy jak ve jmenovateli tak v čitateli na součet logaritmů: nahoře i dole budeš mít ¨logaritmus nejvyšší mocniny + logaritmus zbytku(jehož limita je 0).
3. Pak zbyde $lim\frac{ln(x^2)}{ln(x^{10})}=\frac{1}{5}$

Skumin · 25. 11. 2012 13:12 — Editoval Skumin (25. 11. 2012 13:12)

22.12.2012 napsal(a):
↑ Skumin:Já bych to dělal takhle:
1. ve jmenovateli i v čiteteli si vytknu nejvyšší mocninu
2. rozdělím vyrazy jak ve jmenovateli tak v čitateli na součet logaritmů: nahoře i dole budeš mít ¨logaritmus nejvyšší mocniny + logaritmus zbytku(jehož limita je 0).
3. Pak zbyde $lim\frac{ln(x^2)}{ln(x^{10})}=\frac{1}{5}$

Takhle jsem to právě myslel, díky :)

Skumin · 25. 11. 2012 13:18 — Editoval Skumin (25. 11. 2012 13:19)

skoroakvarista napsal(a):
↑ Skumin:
Ahoj, z logaritmů vytýkat nemůžeš. Znáš a můžeš použít l'Hospitalovo pravidlo?

Myslel jsem to takhle:
$\lim_{x\to\infty }\frac{\ln (x^2-x+1)}{\ln(x^{10}+x+1) }$ $=$ $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln (x^2(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}))}{\ln (x^{10}(1-\frac{1}{x^9}+\frac{1}{x^{10}}))}$ . Dál jsem to rozdělil na celkem čtyři logaritmy, vydělil vše výrazem $\ln x$ a vyšlo mi to $\frac{1}{5}$ , jen nevím, jestli je to úplně korektní řešení vzhledem k používání vět o limitách funkcí :/ A l'Hospitala použít zatím nemůžu právě :D

skoroakvarista · 25. 11. 2012 13:21

↑ Skumin:
Takhle to dává smysl, já jsem nepochopil to "vytknout z logaritmů". Omlouvám se za matení..

Skumin · 25. 11. 2012 13:25

skoroakvarista napsal(a):
↑ Skumin:
Takhle to dává smysl, já jsem nepochopil to "vytknout z logaritmů". Omlouvám se za matení..

V pohodě, ono moje vyjádření "vytknout z logaritmů" mi teď při druhém pohledu taky nedává smysl :D

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2012 12:48

Limita podílu logaritmů

#2 25. 11. 2012 12:58

Re: Limita podílu logaritmů

#3 25. 11. 2012 13:07

Re: Limita podílu logaritmů

#4 25. 11. 2012 13:09

Re: Limita podílu logaritmů

#5 25. 11. 2012 13:12 — Editoval Skumin (25. 11. 2012 13:12)

Re: Limita podílu logaritmů

22.12.2012 napsal(a):

#6 25. 11. 2012 13:18 — Editoval Skumin (25. 11. 2012 13:19)

Re: Limita podílu logaritmů

skoroakvarista napsal(a):

#7 25. 11. 2012 13:21

Re: Limita podílu logaritmů

#8 25. 11. 2012 13:25

Re: Limita podílu logaritmů

skoroakvarista napsal(a):

Zápatí