Matematické Fórum

SoniCorr · 19. 11. 2012 16:53

Zdravím, mám tu zadání $\lim_{n\to+\infty }(1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\sqrt{n}}$ . nevíte nekdo jak na to?

Bati · 19. 11. 2012 17:56

Ahoj,
dá se použít klasický postup převedení na exponencielu:
$(1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\sqrt{n}}=e^{\sqrt{n}\ln{(1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}}$ . Když to převedu na reálnou funkci, exp. je spojitá, takže nás bude zajímat limita exponentu.
Ten se dá napsat takto: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\frac{\ln{$1+\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$}}{\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}$
A teď už by to mělo být jasné jak dál.

SoniCorr · 24. 11. 2012 18:12

diky za pomoc, ale tohle mi u pisemky asi neprojde :-) musim to upravit pouze za predpokladu ze pouziju posloupnosti

SoniCorr · 24. 11. 2012 20:37

co takhle? $(\frac{(1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}$ s tim, ze bych se to snazil upravit na ecko? tim myslim na $(1+\frac{1}{kn})^{kn}$

Bati · 24. 11. 2012 20:46

↑ SoniCorr:
To se ti právě že nepovede, protože exponent je $\sqrt{n}$ a to se nedá nijak napsat, jako $kn$ .
Rád bych ti poradil něco konstruktivního, ale pokud nesmíš používat funkce, tak ti zbývají snad jen nějaké odhady a to takhle od oka nevidím ani jaký odhad by to měl být.

SoniCorr · 24. 11. 2012 20:48

zkusim dopsat celou moji myslenku, ale nevychazi mi to a nevim proc, bude to chvilku trvat

SoniCorr · 24. 11. 2012 21:03

vznikne mi $(\frac{2+2\sqrt{n+1}}{1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}$ upravim na $(1+\frac{1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n}})^{\sqrt{n}}$ pak $(1+\frac{1}{\frac{1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{}})^{\sqrt{n}}$ a dale rozsirim mocninu jednickou $(1+\frac{1}{\frac{1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{}})^{\sqrt{n}\frac{1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{}*\frac{1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}$ upravim to takhle chci aby mel vyraz 1+1/kn a to na kn.. a upravim to na e^alnx takze $e^{\frac{\sqrt{n}(1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}} logaritmus$ ten logaritmus stejne dava jednicku. a vyjde mi to, co jsem nechtel. nevim proc $e^{\frac{\sqrt{n}(1+\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}} logaritmus$

Bati · 24. 11. 2012 21:20 — Editoval Bati (24. 11. 2012 21:22)

Ve třetím okénku máš prohozeno + a -, ale to je asi skoro jedno.
Tvůj postup mi zavání částečným limitěním, proto ti to nejspíš nevychází. Uvědom si, že to, co máš v té závorce, spolu s odpovídající mocninou, není e, ale jen něco blízkého.

SoniCorr · 24. 11. 2012 22:04

tak tedy vubec nevim :-) spoluzak psal, ze nejak upravit a pak podilove kriterium... akorat mi nerekl jak upravit :D

Indie · 24. 11. 2012 23:07

Rozšírením výrazu $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ dostaneš $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ , systém ďalej poznáš :-)

SoniCorr · 25. 11. 2012 12:56

a co ta jednička? Asi nevím přesně o čem mluvíš...

jarrro · 25. 11. 2012 13:14 — Editoval jarrro (25. 11. 2012 13:18)

$$1+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$^{\sqrt{n}}=$\(1+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$^{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)^{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$
limita zátvorky je $\mathrm{e}$ a limita exponentu je $\frac{1}{2}$
teda celá limita má hodnotu $\sqrt{\mathrm{e}}$

jarrro · 25. 11. 2012 13:20

↑ 22.12.2012: $\lim_{n\to+\infty }(1-\sqrt{n})^{\sqrt{n}}$ nemá zmysel. tá postupnosť má "príliš veľa nedefinovaných členov"

SoniCorr · 25. 11. 2012 13:21

↑ jarrro: takhle to vypada dobre, akorat kdyz sectu zlomek s jednickou, tak mi vznikne neco jineho, tento krok nechapu

↑ 22.12.2012:
a je to takhle korektni?

22.12.2012 · 25. 11. 2012 13:21

↑ SoniCorr:Jarro to ma dobře

SoniCorr · 25. 11. 2012 13:23

↑ 22.12.2012: okey, a ja se tedy dostanu k tomu, abych mohl pouzit tuto upravu? co provedu s tim vyrazem v zavorce, abych mohl provest (1+ 1/neco)na neco

jarrro · 25. 11. 2012 13:25 — Editoval jarrro (25. 11. 2012 13:28)

↑ SoniCorr:
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
a aby som to "nepokazil" tak som to ešte umocnil,aby ostal exponent len tá jedna odmocnina
pretože platí
$$a^b$^c=a^{bc}$

SoniCorr · 25. 11. 2012 13:28

ale co ta jednička?

jarrro · 25. 11. 2012 13:35

↑ SoniCorr:ktorá ? s jednotkou sa nič nerobilo tá je tam furt tak ako bola
a je dobre, že tam je lebo
$\lim_{n\to\infty}{a_n}=\infty\Rightarrow\lim_{n\to\infty}{$\(1+\frac{1}{a_n}$^{a_n}\)}=\mathrm{e}$

SoniCorr · 25. 11. 2012 13:39

a joooo, uz to chápu, díky :-)

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2012 16:53

limita posloupnosti 2

#2 19. 11. 2012 17:56

Re: limita posloupnosti 2

#3 24. 11. 2012 18:12

Re: limita posloupnosti 2

#4 24. 11. 2012 20:37

Re: limita posloupnosti 2

#5 24. 11. 2012 20:46

Re: limita posloupnosti 2

#6 24. 11. 2012 20:48

Re: limita posloupnosti 2

#7 24. 11. 2012 21:03

Re: limita posloupnosti 2

#8 24. 11. 2012 21:20 — Editoval Bati (24. 11. 2012 21:22)

Re: limita posloupnosti 2

#9 24. 11. 2012 22:04

Re: limita posloupnosti 2

#10 24. 11. 2012 23:07

Re: limita posloupnosti 2

#11 25. 11. 2012 12:56

Re: limita posloupnosti 2

#12 25. 11. 2012 13:14 — Editoval jarrro (25. 11. 2012 13:18)

Re: limita posloupnosti 2

#13 25. 11. 2012 13:20

Re: limita posloupnosti 2

#14 25. 11. 2012 13:21

Re: limita posloupnosti 2

#15 25. 11. 2012 13:21

Re: limita posloupnosti 2

#16 25. 11. 2012 13:23

Re: limita posloupnosti 2

#17 25. 11. 2012 13:25 — Editoval jarrro (25. 11. 2012 13:28)

Re: limita posloupnosti 2

#18 25. 11. 2012 13:28

Re: limita posloupnosti 2

#19 25. 11. 2012 13:35

Re: limita posloupnosti 2

#20 25. 11. 2012 13:39

Re: limita posloupnosti 2

Zápatí