Matematické Fórum

SoniCorr · 24. 11. 2012 19:40

Zdravím mám takový příklad $\lim_{n\to+\infty } \sqrt[n]{n}\sqrt[n+1]{n+1}....\sqrt[2n]{2n}$ prepsal jsem na tvar $\lim_{n\to+\infty }\prod_{k=0}^{n}\sqrt[n+k]{n+k}$ vyplati se tu sevrit posloupnost?

SoniCorr · 25. 11. 2012 14:35

co takhle? $\prod_{k=0}^{n}\sqrt[n]{n}\le \prod_{k=0}^{n}\sqrt[n+k]{n+k}\le \prod_{k=0}^{n}\sqrt[2n]{2n}$ a overil bych meze pomoci cauchyho, to by mi vyslo jednicka a produkt samych jednicek je jedna? nebo ten vyraz v produktu je jedna a to znamena, ze to jde do nekonecna?

kompik · 25. 11. 2012 14:42 — Editoval kompik (25. 11. 2012 14:44)

↑ SoniCorr:
Pozor na dve veci:
1. Aj ak kazda vec v tom sucine ma limitu 1, to este neznamena ze sucin ide k 1, lebo pocet cinitelov sa meni.
2. Ak to chces odhadovat zhora/zdola, tak tam mas opacne nerovnosti, lebo $\sqrt[n]n \ge \sqrt[n+1]{n+1}$ pre $n\ge 3$ , to sa dokazovalo napriklad tu: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=51823

V kazdom pripade, upravit $(\sqrt[n]{n})^n$ a $(\sqrt[2n]{2n})^n$ by nemalo byt tazke.

SoniCorr · 25. 11. 2012 14:48

oukey, takze to nevypada jako stastne reseni... mozna by se to dalo udelas pres $e^{\sum_{k=0}^{n}ln\sqrt[n+k]{n+k}}$ a to je myslim tohle $e^{\prod_{k=0}^{n}n+k\sum_{k=0}^{n}ln(n+k)}$ neco takoveho. Nevim si s tim priklad poradne rady.

kompik · 25. 11. 2012 14:49 — Editoval kompik (25. 11. 2012 14:50)

SoniCorr napsal(a):
oukey, takze to nevypada jako stastne reseni...

Prave naopak, myslim si, ze je to dobry napad a vedie k cielu, ale nerovnosti tam mas presne naopak. (To, co ti vyslo ako horny odhad, by mal byt dolny.)

SoniCorr · 25. 11. 2012 14:58

↑ kompik: proc tam jeste to cele na n, ty dva vyrazy, pak maji jinou limitu ne?

kompik · 25. 11. 2012 15:01

↑ SoniCorr:
Tak sa ospravedlnujem, ak som ta poplietol.

Tu limitu teda mame zhora odhadnutu $\prod\limits_{k=0}^n \sqrt[n]n = (\sqrt[n]n)^{n+1} = \sqrt[n]n \cdot n$ .
Prvy vyraz $\sqrt[n]n$ konverguje k jednej, $n\to+\infty$ , dokopy to konverguje do $+\infty$ .

A podobne uvahy treba spravit aj s tym druhym odhadom (ktory si ty napisal ako horny, podla mna vsak ide o dolny odhad.)

SoniCorr · 25. 11. 2012 15:05

oukey, u toho druheho je to podobny, jak rikas. Takze limita je +nekonecno?

kompik · 25. 11. 2012 15:06

SoniCorr napsal(a):
oukey, u toho druheho je to podobny, jak rikas. Takze limita je +nekonecno?

Vyzera to tak. (Dufam, ze so tam nic neprehliadol.)

SoniCorr · 25. 11. 2012 15:16

oukey, tak diky :-)

Matematické Fórum

#1 24. 11. 2012 19:40

limita posloupnosti c.5

#2 25. 11. 2012 14:35

Re: limita posloupnosti c.5

#3 25. 11. 2012 14:42 — Editoval kompik (25. 11. 2012 14:44)

Re: limita posloupnosti c.5

#4 25. 11. 2012 14:48

Re: limita posloupnosti c.5

#5 25. 11. 2012 14:49 — Editoval kompik (25. 11. 2012 14:50)

Re: limita posloupnosti c.5

SoniCorr napsal(a):

#6 25. 11. 2012 14:58

Re: limita posloupnosti c.5

#7 25. 11. 2012 15:01

Re: limita posloupnosti c.5

#8 25. 11. 2012 15:05

Re: limita posloupnosti c.5

#9 25. 11. 2012 15:06

Re: limita posloupnosti c.5

SoniCorr napsal(a):

#10 25. 11. 2012 15:16

Re: limita posloupnosti c.5

Zápatí