Matematické Fórum

ecstatic · 25. 11. 2012 17:58

zdravim, neviem si poradit s jednou ulohou, zadanie je
Najdite bijekciu medzi mnozinami (0, 1> × <0, 1) a {[x, y] $\in$ R2; $0<x^{2}+y^{2}\le 1$ }.

geometricky si to viem interpretovat ako zobrazenie stvorca v pravom hornom kvadrante na vnutornu cast kruhu s polomerom 1, najst predpis sa mi vsak nedari...niekto nejaky tip?
Dakujem za pripadnu odpoved

Andrejka3 · 25. 11. 2012 18:07

↑ ecstatic:
Ahoj,
nevím, jak napovědět co nejmíň tak, abych ještě vůbec napověděla :)
Kdyby byla Země kruh a my bychom se mohli pohybovat uvnitř, asi bychom nevolili přirozeně kartézské souřadnice na popis naší polohy...
Stačí?

ecstatic · 25. 11. 2012 18:16

ak narazas na pouzitie polarnej suradnicovej sustavy ku tej sme sa na skole zatial nedostali...resp bola spomenuta velmi velmi strucne,

Andrejka3

Ano,
to je asi nejpřirozenější možnost. Nevyhovuje?
Označme $M= (0,1] \times [0,1)$
$(a,b) \in M$ přiřadíme $(x,y) \in$ kruh tak, že
$x^2+y^2 = a$
a
teď je třeba si zvolit nějakou polopřímku, od níž budeme měřit úhel, abychom dokončili předpis pro bijekci.
Edit: Obvykle se volí osa $x$ a kladný směr.
Máme-li $\varphi \in [0,2\pi)$ , a $0<r \leq 1$ ,
je $x=r \cos \varphi$ a $y=r \sin \varphi$ bijekce $(0,1] \times [0,2\pi) \rightarrow \text{kruh bez stredu}$ .
Stačí složit s nějakou bijekcí $(0,1] \times [0,1) \rightarrow (0,1] \times [0,2\pi)$ a jsme hotovi.