Matematické Fórum

hmyzak · 30. 11. 2008 18:33 — Editoval hmyzak (30. 11. 2008 18:34)

Ahoj, potřeboval bych poradit s tímto příkladem. Napadlo mě dát rovnice s x1,x2,x3 pod sebe a udělat z nich rozšířenou matici soustavy následně se dopočítat k nějakým t1,t2,t3, které mi budou udávat bázi, druhy radek vypadl,musel jsem pouzit 2 parametry, došel jsem k tomuto, že báze je <r*[1,1,0],p*[-1,0,1]>, je to správně, nebo jsem totálně vedle? :-) nevíte jak podle definice dokážu, že se jedná o bázi?

Díky za vaše postřehy

Pavel Brožek · 30. 11. 2008 21:27

Je zřejmé, že ty dvě rovnice v definici V jsou ekvivalentní (jedna je -1 násobek druhé), takže na jednu můžeme zapomenout. Stačí tedy najít maximální počet lineárně nezávislých vektorů, které splňují tu rovnici, což jsi udělal (nevím, co jsou r a p, vektory báze budou prostě dva vektory, ne lineární obal těch vektorů, pokud jsi to tak myslel). Máme tedy (asi - ještě dokážeme) bázi (označím M)

$M=\{(1,1,0),(-1,0,1)\}$

Definice:

"Báze vektorového prostoru V je množina lineárně nezávislých vektorů, jejichž lineární obal je roven celému prostoru V"

Že jsou vektory z M lineárně nezávislé je zřejmé. Předpokládejme, že máme vektor $(a,b,c)\in V$ , je tedy splněno $-a+b-c=0$ a máme najít jeho rozklad do báze M. Má tedy platit

$(a,b,c)=\lambda_1(1,1,0)+\lambda_2(-1,0,1)$ ,

z toho

$a=\lambda_1-\lambda_2\nl b=\lambda_1\nl c=\lambda_2$

Tato soustava má řešení $\lambda_1=b$ a $\lambda_2=c$ , protože první rovnice je díky podmínce $-a+b-c=0$ splněna. Každý vektor z V tedy lze napsat jako lineární kombinaci vektorů z M, množina M je tedy báze V.

hmyzak · 01. 12. 2008 10:31

↑ BrozekP:

Díky

Matematické Fórum

#1 30. 11. 2008 18:33 — Editoval hmyzak (30. 11. 2008 18:34)

Najděte bázi vektorového prostoru

#2 30. 11. 2008 21:27

Re: Najděte bázi vektorového prostoru

#3 01. 12. 2008 10:31

Re: Najděte bázi vektorového prostoru

Zápatí