Matematické Fórum

BakyX · 26. 11. 2012 20:32

Máme $c$ čiernych a $b$ bielych loptičiek. Ťaháme postupne dve loptičky, pričom po vytiahnutí ich nevraciame. Pravdepodobnosť, že v 1. ťahu vytiahneme bielu je rovná pravdepodobnosti, že v 2. ťahu vytiahneme bielu.

Skúste tento zaujímavý fakt dokázať.

Arabela

Zdravím ↑ BakyX:,
naozaj je to zaujímavé... A naozaj je to tak. Označme
jav A ... v prvom ťahu vytiahneme bielu,
jav B ... v druhom ťahu vytiahneme bielu.
Je zrejmé, že
$P(A)=\frac{b}{b+c}$ .
S pravdepodobnosťou javu B to bude trochu zložitejšie. Ide o druhý ťah, ktorému predchádzal ťah prvý. Skutočnosť, že v druhom ťahu bola ťahaná biela gulička, sa mohla zrealizovať dvomi spôsobmi, a to prostredníctvom javu
B1 ... v prvom ťahu bola ťahaná biela a v druhom ťahu bola ťahaná takisto biela,
alebo prostredníctvom javu
B2 ... v prvom ťahu bola ťahaná čierna a v druhom ťahu biela.
Javy B1, B2 sú nezlučiteľné, a tak pravdepodobnosť ich zjednotenia je daná súčtom pravdepodobností javov B1, B2.
Zostáva vypočítať P(B1), P(B2).
$P(B1)=\frac{b}{b+c}.\frac{b-1}{b+c-1}$
$P(B2)=\frac{c}{b+c}.\frac{b}{b+c-1}$
$P(B)=P(B1)+P(B2)=\ldots =\frac{b^{2}-b+bc}{(b+c)(b+c-1)}$
Stačí vyňať b v čitateli pred zátvorku a zlomok vykrátiť výrazom b+c-1.
Záver: $P(A)=P(B)$

Arabela · 01. 12. 2012 21:59

Zaujímavé by bolo zistiť, ako to bude pri treťom, resp. ďalších ťahoch. Pokúsi sa niekto o zovšeobecnenie?

Matematické Fórum

#1 26. 11. 2012 20:32

Zaujímavý fakt z pravdepodobnosti

#2 26. 11. 2012 21:05 — Editoval Arabela (26. 11. 2012 21:07)

Re: Zaujímavý fakt z pravdepodobnosti

#3 01. 12. 2012 21:59

Re: Zaujímavý fakt z pravdepodobnosti

Zápatí